站得高看得远，学得深悟得透

杨燕华

［摘  要］ 广大一线教师对“局部性”的单个课时研究得比较深入，致使学生缺乏对知识的整体性认知，最后可能造成只见树木、不见森林的现象. 文章以苏科版教材八年级上册“4.1平方根（1）”为例，从“先见森林，再见树木，最后见树木之间的联系”这一视角谈谈如何让学生高站位、高思维地学习，如何让学生学得深悟得透，将数学核心素养落到实处.

［关键词］ 整体教学；数学思维；核心素养

引言

2021年10月，笔者有幸参加了江苏省初中数学青年教师评优课，赛课内容是苏科版数学八年级上册第四章第1节“平方根”，并获得了一等奖的好成绩. 《义务教育数学课程标准》（2011 年版）指出：“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系.”芬兰教育提出“先见森林、后见树木”的施教哲学及其所蕴含的整体化学习思想，笔者借鉴芬兰教育理论展开研究，以“平方根”为例做了一些实践和思考，提出观点：除了“先见森林、后见树木”，还要找到树木之间的联系.

赛前准备

牛顿曾说，“如果我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，所以当我们站在山脚和站在山顶看风景时，看到的是截然不同的景象. 站得高方能看得远，站在知识的高度看待知识，才能学得深、看得全.

1. 先见森林，整体建构知识框架

“見森林”就好比爬山时人站在山顶能看到一片森林，目之所及皆是景，能很好地反映事物的全貌. 那么如何站在知识的高度整体把握知识呢，这就要求教师不能只停留在本节课所学的知识点上，要上升到大单元、大情境、大问题和大任务的设计上. 指向学科核心素养的教学倡导以“大”为中心，可以是对多个单元或一个单元，甚至小到一个专题、一个问题的学习内容进行拆分、整合和重组. 对于本课，笔者采用绘制思维导图的方式进行知识结构化，使学生的认知达到更高的格局，使学生的学习具有整体性、系统性和递进性.

2. 再见树木，全面厘清知识内容

“见树木”就好比人在山间看周围的景色，见到的是一棵树的树干、树枝、树叶等，反映了事物的组成部分，厘清了知识的产生、形成、发展、应用等，不仅知其然，还知其所以然，更知其何以为然. 所以教师应该放手让学生自主学习，应引导学生从旧知出发，对知识点进行探究、梳理、分析、归纳总结，并交流展示，深挖知识的内涵与外延，使学生对每个知识都通透，进而对旧知有一个全新的认识，让知识在头脑中具有全面性和完整性.

3. 找到树木之间的联系，整合教材中部分关联的内容

爬山时我们还要时不时回头看看身后的风景，抬头看看前往山顶的路怎么走，这反映了事物之间的相互关系. 所以教师教学时需要“瞻前顾后”地理清知识的前后脉络、相互关联，理顺多个知识、多个元素、多种关系之间的逻辑关联，还要找到知识背后的思想方法、数学文化等. 每个环节都是单元知识的中介，是前一个环节蠕动的必然结果，也是后一个环节的前提，环节之间具有关联性.

教学实践

1. 追根溯源，明确研究方向

师：目前为止，我们学过的数有哪些？数系为什么要扩充？

生1：目前我们学过的数有正数、0，引入了负数，初中学习了有理数，引入了无理数.

生2：数系之所以要扩充，是源于数学内部的需求和实际生活的需要.

师：数系扩充了，相应地，数的运算也发生了变化. 我们已经学过哪些数的运算？

生3：加法、减法、乘法、除法和乘方. 其中加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算. 乘方应该也有逆运算，只是我们还没学.（如图1所示）

师：要研究乘方的逆运算是什么，可以按照从特殊到一般的方法，先研究最简单的、最特殊的逆运算是什么，即研究平方的逆运算是什么. 这是本节课我们要研究的内容.

设计意图  本课是七年级学生学习了乘方运算后安排的，教师通过设置层层递进的问题串，引导学生回顾已经学过的知识，并类比之前学过的加法与减法、乘法与除法之间的互逆关系来引出乘方的逆运算，从而揭示课题. 教学时教师明确了本节课的研究方向，尤其加强了对知识的整体性研究，形成了前后一致、逻辑连贯的教学过程.

2. 抽象概括，展开研究过程

问题1：如图2所示，每个小方格都是边长为1的正方形.

（1）请在图①中画出边长为2的正方形，并计算它的面积；（答案：如图3①所示，面积为4）

（2）请在图②中画出面积为9的正方形，并计算它的边长；（答案：如图3②所示，边长为3）

（3）请在图③中画出面积为2的正方形，并计算它的边长.（答案：如图3③所示，边长为）

设计意图  对于例1，可以直接利用开平方运算求出各数的平方根，需要注意的是表达要规范；对于例2，可根据平方根的定义，间接利用开平方运算求出x，这能让学生体会到平方与开平方互为逆运算.

6. 完善结构，提升思维品质

本节课我们学习了哪些知识？我们是如何研究开平方的？平方与开平方的区别是什么？通过本课的学习，你觉得本章还可以研究哪些内容？

设计意图  本节课建构的知识框架如图7所示. 小结归纳不能只是知识的罗列，还应优化知识结构，完善知识体系，让学生获得数学经验. 问题“通过本课的学习，你觉得本章还可以研究哪些内容”对后续学习进行展望，这样瞻前顾后的思考，既是章首课作用的体现，又有利于学生数学整体观的建立，能让学生进一步体会研究代数的一般路径. 数系由有理数扩充为实数，教师应引领学生站在初中数学数系的高度看数系的扩充，完善初中数学数的扩充；学习新的运算后，运算扩充为加、减、乘、除、乘方、开方六种运算，教师要站在初中数学运算的高度看待初中数学数的运算，为后续研究立方根、二次根式等知识奠定基础. 在此过程中，学生要体会以联系的方式看待知识，将知识结构化，并发展知识迁移能力，不断提升数学核心素养.

赛后反思

“课堂教学是一门遗憾的艺术”，再好的课也有不足，赛后笔者进行了反思，认为下面几点还需改进.

1. 及时使用生成性资源

学生在课上的反馈是很好的生成性资源，教师合理利用生成性资源，能让知识得以生长、延伸，有利于学生思维品质的提升. 例如，教学例2的第（1）小题x2=256时，某学生解得x=，x=16，教师实时引导学生：数学中正数的平方根有2个，但是生活中一般只取正的平方根. 这与前面求正方形的边长只取正根相呼应，也为平方根第2课时算术平方根的教学做铺垫.

2. 合理设计小组合作

并非每一节课都需要小组合作，更不是遇到难题就需要小组合作. 课堂中设计小组合作需要达到什么目的？为什么要小组合作？这是笔者需要思考的. 如对于问题5（关于x2=a，请你赋予a一个值，并求出x）的教学，可改成让学生先独立思考，再小组合作学习，让每个学生都感悟x与a的关系——x的值的个数与a有关、与a的取值范围有关等. 这样的小组合作才有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，才能真正地让学生探究数学、感悟数学和思考数学.