从新课标的“一致性”谈数学的基本原则

摘要 数学的基本原则包括简单性、精确性、连贯性、一致性和完美性，它们相互关联，是数学在其发展过程中显露的特征、方法与追求。只有在充分理解这些原则的基础上，教材编写者才能贯彻课标精神，教师才能合理用好教材，学生也才能真正学好数学。

关  键  词 新课标 数学教学 教学原则

引用格式 吉智深.从新课标的“一致性”谈数学的基本原则[J].教学与管理，2023（17）：31-33+38.

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》）的颁布，数学的一致性成为这次数学课程标准修订的一个新要求、新亮点，也成为大家研讨的热门话题之一。一致性其实是数学的基本原则之一，数学的基本原则还包括简单性、精确性、连贯性、完美性，它们都是数学在其发展过程中所遵循的一般原则。《2022年版课标》提醒我们要关注数学的这些基本原则，希望呈现在学生面前的数学是精确的、一致的、连贯的，能够展示数学对简单性与完美性的追求。这就要求即将使用的新教材在呈现数学课程内容时不违背这些原则，也要求教师真正理解这些数学基本原则，努力遵循这些原则，教好数学，也让学生真正理解数学。

一、简单性

“从数学产生之时，一个最基本、最显著的特征和方法就显露出来了，就是简单化。”[1]数学是如何显露简单性呢？让数学研究对象抽象化，抽象是把复杂事物简单化的过程。5个人、5只羊、5个石块、5根手指，数学把这些有限集合的共同特征标记为数字“5”，其他如直线、射线、线段、平面、三角形等数学概念都是抽象的结果。

不仅数学概念是抽象的，数学的表达、数学的方法也是抽象的。数学追求用简单符号表达复杂的数学规律与自然规律，如数学的公式、定理以及物理学中的公式等。数学方法抽象的目的也是为了简单，这在小学数学的算法中体现得很明显。如前一段时间争论比较多的话题“竖式重要，还是横式重要？”如果从数学的简单性原则看，竖式也是重要的，虽然横式能够说清楚算理，但设想一下：如果用横式来计算四位数乘以四位数，虽然借助于乘法的运算法则也可以求出结果，但与竖式比较，竖式的简便性不必多说。如果让学生用横式来计算三位小数乘以两位小数，估计很多学生都做不了。不能因为横式表达的是计算算理，就说竖式不重要。竖式不仅简单，而且也可以表征算理，比如用竖式计算24×12时，为什么把240后面的0省略，因为省略0以后，就把两位数乘以两位数的问题转化为两位数乘以一位数的问题，把要解决的问题转化为已经解决的问题，这也是追求简单的表现。

数学的简单性无处不在，有了长度单位1厘米以后，我们可以用1厘米的线段测量物体的长度，有几个1厘米，它的长度就是几厘米，但是这样一段一段量太麻烦，于是就有了带刻度的尺。角的开口方向不同，于是就有了量角器的內圈与外圈之分。长方形的面积开始是通过“数小方格”得到的，但麻烦，于是想办法用简单的公式来计算。数学根据问题的不同，总结出不同的模型，如归一问题、鸡兔同笼问题、植树问题等，也体现了解决问题的简单化。

数学教师要看到数学的简单性，理解数学的简单性，通过数学活动中的比较与反思，让学生体会与理解数学的简单性。

二、精确性

精确性也是数学的本质特征之一，具体表现在数学概念要有精确的定义，数学命题要有无误的判断，数学推理要有严谨的过程。

小学数学对定义有着很严重的排斥心理，认为定义只不过是“多了一个需要死记硬背的东西”。我们要淡化形式，注重实质，注重数学概念的本质。但凡事不能绝对，不能从一个极端到另一个极端，如方程的定义有其特殊性，能够从本质上给出方程的概念，也不失为一种好做法。有些定义是会参与到今后的逻辑推理过程之中的，如平行四边形的定义等。虽然小学教材给出了平行四边的定义，但这个定义是通过“用两把三角尺研究一下，平行四边形的边有什么特点”得出的，用两把三角尺就能研究出它的对边平行？即使研究出来，也不够准确。与其这样，不如直接用两组平行线相交，得到一个四边形，我们把这样的四边形称为平行四边形。这样定义平行四边形就水到渠成。数学定义的得到，不要处处从实际生活出发，这样既不准确，也容易割断数学知识之间的联系。对边相等也不能仅仅通过测量得到，而应通过“把平行四边形剪成两个三角形，发现这两个三角形能够完全重合”得到，学生的理性精神得益于几何推理，而不是简单测量。

如苏教版《数学》六年级上册“分数除法”单元，在探究“分数除以分数”时，教材用了“分果汁”这样一个问题情境：“量杯里有9/10升果汁，玻璃杯的容量是3/10升。量杯里的果汁倒入玻璃杯，能倒满几杯？”并且提问：“分数除以分数，也可以用被除数乘除数的倒数来计算吗？先试着算一算，再在图中分一分，看结果是否相同。”通过算一算、分一分，很容易得出结论，也容易看出这是验证“除以一个分数等于乘以它的倒数”这一分数除法计算法则，但并没有说清楚分数除以分数的算理。

数学的精确思维让人类能够客观地、定量地思考并描述世界，也才使得数学成为解决很多问题的强有力工具与模型。因此，我们都要从精确性的角度考虑如何准确地定义数学概念、有逻辑地进行数学推理。

三、一致性

《2022年版课标》强调数学教学要体现数的概念本质与数的运算本质的一致性，这也提示教材编写者及广大教师要更多地关注数学的一致性，如数学度量本质的一致性、度量教学环节的一致性以及数学问题解决所执行计划的一致性等。

度量的本质是将待度量与公认的基准进行比较，具体来说是指用一个带单位的数值描述可度量物体或现象的某一个属性，从而形成某个具有特殊含义的“量”[2]，如长度、面积、容积、体积、角度、质量、方位、温度、时间、货币等。度量的核心要素有两个：度量单位和度量值。从概念上来看，度量是用一个数值来表示物体的某一属性；从行为上看，度量是一个待测量和一个标准量（单位）进行比较，“标准”的个数就是度量的结果。同一量不同“标准”单位之间的进率是一致的，如相邻两个长度单位之间的进率通常是10，厘米、分米、米后面应该是十米、百米、千米，只不过十米、百米不常用，比米大的常用的长度单位就成了千米，这与十进制计数法中“满十进一”是一致的。此外，度量中单位与单位的乘积形成新的度量单位，如长方形的长（厘米）乘以宽（厘米）得到它的面积，同时得到新的面积单位“平方厘米”，这与数的运算中“计数单位乘计数单位，得到新的计数单位”是一致的。

度量教学环节也基本遵循着一致性的原则：第一步，意识到物体与现象某些可测的属性，如线段有长与短之分，角度有大与小之分。第二步，为得到一个确定的、一致的结果，借助工具或者通过抽象制定出“标准”。第三步，直接用“标准”来度量待测量，如用1厘米的线段来测量一个线段，这个线段有3个1厘米，得到这条线段的长度是3厘米。第四步，根据需要反思“标准”制定的合理性，随着生活的需要和现代科学的发展需要引入更小的或者更大的长度单位，如纳米和光年等。第五步，尝试用工具、公式或估测等方式得到待测量的结果。如测量物体的长度可以用尺简单测量出来，长方形的面积可以通过公式计算得出，或者在精确度要求不高的情况下，通过估测活动得到待测量的结果。

问题解决是数学课程的总目标之一，教材把解决问题的策略作为必教内容，只不过编写方式不同。如苏教版数学教材设置关于“问题解决的策略”的专门章节，而人教版数学教材则把解决问题的策略渗透到每一个数学问题的解决过程之中，各个版本数学教材在解决问题策略的编写上各有特色，教学时应有意识地探寻解决问题方法，系统地学习数学模型的构建与使用。

“四能”（发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力与解决问题能力）成为《2022年版课标》的课程总目标。“问题解决是学校数学教育的基石。没有问题解决能力，数学思想、知识和技能的作用和力量会是很有限的”[3]。数量关系在解决问题中的重要性不言而喻，但它不能代表问题解决的全部。所以，让学生制定并执行一个计划去解决问题，比单纯利用数量关系解决问题要深入得多，也更有用途。

四、连贯性

如果说数学的一致性是强调数学概念、数学方法的一致性，那么数学的连贯性则主要强调数学学习过程的连贯性。每个概念、定义与性质在学生初学时都是新知识，但学生在继续学习新知识、解决新问题时，它们又变成学生可以利用的旧知识。“数学是一组相互关联的纽带，其中每个概念或技巧是某条纽带中的一个结。”[4]这种連贯性应在教材与教学中有明确的体现，也应让学生了解数学知识是如何关联的，从而深入理解并掌握新的知识与方法。

在教学5以内数的加减法前，几乎所有数学教材都先让学生理解等于、大于与小于。采用对应法让小学生理解小猴与桃子一样多时，用“=”表示小猴与桃子两者的数量；小猴比香蕉多时，用“”表示小猴与香蕉两者的数量关系，小猴比梨少时，用“”表示小猴与梨两者的数量关系。这样做的目的是通过对应法凸显两个事物之间数量的大小关系，特别是能够揭示“=”的本质。然而在后面讲授加法时，似乎看不到用对应法得到两侧物体数量相等的例子。事实上如果在前面学习“相等、多与少”的基础上，在少的那一侧“添加”若干个物体，使得两侧的物体的数量一样多，可以帮助学生理解加法的意义，强化学生对“=”本质的理解，对学生将来理解方程的意义以及等价关系也有很大帮助。这应该是《2022年版课标》强调要“引导学生通过具体操作活动，利用对应的方法理解加法的意义”的原因吧。

类似的问题还有，对于自然数的加法，小学生一开始是通过往后数数得出结果的，比如一堆粉笔有3支，另一堆粉笔有5支，一共有几支粉笔？不管是放在一起数，还是看出一堆的数量，从另一堆开始往后数，都是“往后数”。但现行教材中的分数加法，没有“往后数”的影子，我们的教材是否可以改为：“1/4米长的线段加上1/2米长的线段，拼接成的线段多长？”已经有了1/4米，往后数，一共有几个1/4米”[5]，这与“自然数相加，往后数，看看一共有几个1”是一致的，这样的连贯性，让学生没有陌生感，也不会对分数加法产生学习恐惧。

当前的数学教学出现了一些误区，过分强调数学情境的创设，过分强调数学与生活的联系，这些做法很容易割裂数学的连贯性，数学的连贯性不能因为数学生活化而被打破。

五、完美性

数学不仅追求简单性，还追求完美性。数学的完美性首先体现在数学语言上，世界各国的语言各异，但数学与数学符号却是通用的。各国的数学家借助通用的数学语言，可以毫无障碍地交流与学习，这促进了数学的发展，也促进了科技的进步与人类的发展。

数学推广是数学追求完美性的体现。数学推广是“指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立”[6]。一元二次、一元三次、一元四次方程都有公式解，那么一元五次方程、一元六次方程……是不是都有公式解呢？如果一次方程都有公式解，那么就是完美的结果。因此，数学家前赴后继寻找一元五次、一元六次方程的解，虽然最后结果事与愿违，阿贝尔证明了一元四次方程以上没有公式解，但数学这种追求完美的精神是值得赞颂的。

如果数学某个方面没有完美性，怎么办？想办法让它完美。函数是数集与数集之间的一种特殊对应关系，如何定义三角函数呢？角度不是实数，怎么办？引入弧度制，建立角度与实数之间的一一对应，这样，三角函数就定义在两个数集之间。

数学的完美性还表现在对问题总想有一个完美的解答：为什么要研究这些数学概念？为什么对顶角相等？为什么数学猜想是正确的？……数学总是想方设法去证明每一个论断，但这些证明过程很快就会被学生遗忘，那么数学证明的价值到底是什么呢？首先它培养学生的一种意识，那就是应用别人已获得的结果时，要去检验它们，别让自己用错了；其次在分析与学会数学证明的过程中，培养与保持学生的洞察力；最后数学证明能够培养学生条理化、系统化思考问题的习惯。可以说，数学证明在培养学生追求真理、保持洞察力上的表现也是完美的。

小学数学应该重视归纳推理，因为没有具体例子就没有一般化的结论与方法，但不对结论与方法进行反思与推理，数学是不完美的。所以，小学数学也应该根据需要，渗透与培养学生的证明意识与证明能力。利用基本事实证明自然数除法法则与分数除法法则的一致性。

总之，教材编写者应该关注并落实数学的基本原则，把数学的基本原则渗透到每一个数学概念、方法的教学中；数学教师应该理解数学的基本原则，在处理教材、阅读文献时，能够独立思考，辩证地看待与处理争议内容，在数学基本原则的指导下，理解数学知识的本质，挖掘数学的教育价值，发挥数学学科的力量，教师与教材协同发力，努力实现数学学科立德树人的目标。

参考文献

[1] 方运加.数学教师应信仰数学真理[J]．中小学数学：小学版，2012（Z1）：20-21.

[2] 刘加霞.把握度量的本质，积累度量活动的经验——兼评赵娣老师的“毫米的认识”一课[J].小学教学：数学版，2013（05）：24-26.

[3] 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金返，等译.北京：人民教育出版社，2004：167.

[4] 伍鸿熙，赵洁译.凤凰涅槃：让核心数学标准焕发生机[J]．数学通报，2012，51（04）：1-12.

[5] 吉智深.数学推广：模式、方法及教育价值[J].中小学教师培训，2023（03）：29-34.

[6] 郑隆炘.数学推广的类型与思想方法[J]．武汉教育学院学报，1999（03）：5-10.

［责任编辑：陈国庆］