心“中”有“线” 笔下有路

吴佑泉

为有效减轻义务教育阶段学生过重的作业负担，落实“双减”政策，2021年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，着力健全作业管理机制，严控书面作业总量，要坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持以学生为本，强化学校教育的主阵地作用，大力推进学校减负提质工作，做强做优校内教育，提升作业设计质量，探索分层作业、个性化作业、有效作业等实施途径，健全教育良好形态，促进学生全面发展、健康成长。

加强学校作业调控，督促各地各校落实作业管理通知要求，制定完善作业管理办法，有效控制作业量和时长，特别是数学作业要做到精选、精练，要让学生的知识系统得到夯实和扩充，要让学生的做题水平得到质的飞跃，做到减量不减质和减而不简，不做重复性和机械性作业，把体力劳动变成脑力劳动，要让学生对数学产生热爱，发挥学生的主观能动性，主动探索数学难点，培养学生的“五大”核心素养，从横向上扩大知识面，从纵向上研究知识的本质，从事物的表象到内部的本质和规律，深刻地领会数学知识的重要性。

努力提高课堂教学质量，坚持“两个”并重，“减负”和“提质”两手抓、两手都要硬，做到持之以恒、久久为功。两者是相辅相成的、密不可分。“减负”，学生的作业量少了，重复和低等的学习，使学生的认知水平和素质结构没得到提高；“提质”通过“题海战术”，只能增加学生的做题经验，让学生的知识面得到扩大，单纯从横向发展，纵向得不到加深，学生的数学核心素养得不到有效提高。

“双减”要求作业能够灵活设计，选题更有代表性，精选题型，满足不同学生的学习需要，达到减负、提质、增效的目的。本文从中点为切入口，把初中阶段的中点知识形成一个知识体系，层层深入，融合数学知识点和图形的直观性，培养学生思考的维度，提高书写方向。

传统教学是“只见树木不见森林”，我们要走向关联、重整体的教学。传统教学是分—总式学习，大单元教学是总—分—总式学习，课前老师把握课标，驾驭教材，分析学情，叙写目标，基于大单元进行知识建构、情境建构、主题建构，这是关键，让所教所学知识点具有系统性、关联性、递进化、科学化，即最小的课程单位。

串联式复习不仅可以减轻学生学习负担，以核心知识为载体，培养学生学科思想和方法，以及核心素养，指向学生迁移应用知识和解决问题的能力，而且还把知识点进行区分、对比、深度加工，让学生思维得到提升，使学生形成知识间的丰富联系，建立良好的认知结构，使教学内容“结构化、一体化、网络化”。

中点在华师大版初中数学各册中都有出现，是初中数学教学中不可缺少的知识点。在七年级上册中，中点出现在线段中点，主要考查学生对线段的计算，初步认识中点的意义，让学生感受数形结合思想；在七年级下册中，学生从线到封闭图形的发展，从一维上升到二维，学习三角形的中线，为计算三角形面积和三角形全等，以及研究等腰三角形提供知识基础；在八年级上册中，学生研究等腰三角形的性质“三线合一”，即底边的中线和高、顶角的平分线；在八年级下册中，为深入研究特殊四边形的几何性质提供思路，结合平面直角坐标系点坐标的中点坐标公式，倍长中线的思想为作辅助线解决问题提供突破口；在九年级上册中，研究三角形的中位线、重心及其性质和在直角三角形中斜边上的中线的性质；在九年级下册中，研究圆中的垂径定理和弧的中点的性质。

在不同的环境中起到的作用也不同，主要涉及三角形、四边形和圆，在考试中，特别是中考经常出现数学中点问题，因此探索此类中点问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义，可以培养学生数形结合的思想。

一、中点在三角形中的性质及其运用

初中阶段主要研究的图形是三角形，几何教学中有两大基本元素：角和线段，中点主要涉及解决线段问题，再推广到其他问题，如面积、周长等。

（一）三角形的中线

几何语言：在三角形ABC中（如图1），D为BC的中点，则BD=BC，s△ABC=s△ACD=1/2s△ABC证明性质成立中，要体现三角形等底同高的数学思想方法。

例1  在三角形ABC中（如图2），D是BC中点，E是AD中点，且三角形ABC的面积为24cm2。

求三角形BEC的面积。

分析思路：

首先，計算面积，但未知高，突破口在三角形的中线;其次，AD、BE、CE分别是△ABC边BC上的中线、△ABD边AD上的中线、△ACD边AD上的中线;最后，三角形BEC的面积与三角形ABC的面积的关系。

（二）等腰三角形的“三线合一”

因为等腰三角形的轴对称性，则有等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高在同一条线上，简称等腰三角形的“三线合一”。

几何语言：在等腰三角形中（如图3），AD所在直线是三角形的对称轴，则有：AD平分∠BAC，AD⊥BC，AD是边BC的中线。

例1：如图，AB=AC，作三角形ADC，使得点B、D在AC异侧，且AD=CD，∠ADC=∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F，若AB2=2CF·AD，试判断三角形ACF的形状，并说明理由。

分析思路：

首先，△ABC和△ACD都是等腰三角形;其次，分析AB2=2CF.AD，由线段比例关系猜想出两个相似三角形：△ABC相似于△ACD，列出对应边成比例，得出BC=2CF;其次，从等式的特点思考：BC=2CF，由等腰三角形“三线合一”可知，过点A作AH垂直于BE交BC于点H；最后，在证明△AHC全等于△ACF，得证三角形ACF是直角三角形。

学生在分析问题时，要突破两点：等式的运用和辅助线。学生从已知分析，会感觉“山重水复疑无路”，只要把AH画出来，思路就豁然开朗，整道题的思路就“柳暗花明又一村”，有利于提高学生分析已知的能力。

（三）直角三角形斜边上的中线

在直角三角形中，两个锐角互余和边长满足勾股定理外，还有其边角关系，斜边上的中线也有特殊性。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，且是直角三角形外接圆的半径。

几何语言：在直角三角ABC中（如图5），∠C=90°，D为斜边AB边上的中线，则AB=2CD（证明此定理，采用倍长中线）。

例1：如图6，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长。

思路分析：

首先，找到含CH的三角形，连接AC和CF；其次，由勾股定理求AC和CF；最后，在直角三角形ACF斜边上中线CH的性质，求CH的长。

（四）三角形的中位线及其重心

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

几何语言：在三角形ABC中（如图7），EF是三角形ABC的中位线，则EF∥BC，BC=2EF 。

例1：如图8，在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，求DG的长。

思路分析：

首先，连接DE，构造三角形DEG；其次，DE是三角形ABC的中位线；最后，在Rt△EFC中，求出EF的长。在Rt△DEG中，再由勾股定理求出DG；在同一个三角形的两条边上分别取中点，构造中位线，既有数量关系，也有位置关系。

例2：如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，点D是斜边AB的中点，点G为△ABC的重心，DG=2，求BC的长。

思路分析：

首先，由三角形的重心性质可知，CD：DG=3：1，求出CD的长；其次，AB=2CD；最后，在Rt△ABC中，再由勾股定理求出BC。

二、中点在四边形中的性质及其运用

四边形各边的中点连线四边形，简称中点四边形，主要运用三角形中位线的性质，培养学生知识迁移的能力，以及转化思想，把未知条件转化为已知条件，让知识点贯穿在一起，形成一个整体和体系，体现单元整体教学。

例：在四边形ABCD中（见图10），E、F、G、H依次是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE形成四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形。

思路分析：

中点主要出现在三角形中，所以连接AC，形成三角形ABC和三角形ACD。

首先，EF和HG分别是△ABC和△ACD的中位线；其次，AC是两个三角形的公共第三边；最后，EF平行且等于HG，得出四边形EFGH是平行四边形。

小结：

若四边形ABCD是矩形，则中点四边形EFGH是菱形；若四边形ABCD是菱形，则中点四边形EFGH是矩形。

三、中点在圆中的性质及其运用

垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

几何语言：在○O中（如图11），直径CD⊥弦AB，则有AB⊥CD，弧CA=弧CB，弧DA=弧DB。

例1：如图12，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2cm，EB=8cm，∠DEB=60°，OF⊥CD于F．求CD的长。

思路分析：

首先，由垂径定理得CD=2DF；其次，连接OD，在Rt△ODF中，只需已知OF和半径OD；最后，OF在Rt△OEF中，利用锐角三角函数可求，再由勾股定理求出DF。

四、结语

在圆中，由直径所引发的两种数量关系和一个位置关系：平分弦、平分弧、垂直弦，知其一，便可得二。此性质在解决圆中的弦、弦心距、拱高、半径等计算时，将圆中的问题划归到特殊三角形（等腰三角形、直角三角形等）问题。

这几个性质相互联系，再做出合理的輔助线，放“中点”归图，在中点问题教学中，要培养学生的观察能力，提高学生的图形结合能力，培养学生的分析能力与概括能力，并帮助学生实现知识之间的联系与转换，从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力。

注：本文系鲤城区教育科学“十四五”规划课题（第一批）2021年度课题“基于核心素养下初中数学校本作业有效性研究”（项目编号：LCJG145-157）研究成果之一。