基于思维能力培养的高中数学变式教学策略研究

阮锦星

变式教学可以丰富高中数学教学，在增强学生数学认知，使其深刻掌握解题方法的同时，培养学生多方面思维能力，是深化高中数学教学的重要手段。新课程改革背景下，高中數学教学愈发重视学生思维，教师应积极挖掘有助于培养学生思维能力的方法，将其灵活应用在实际教学中。本文基于思维能力培养视角，研究高中数学变式教学策略，结合高中数学变式教学基本形式，联系函数、数列、等内容，提出了一些观点，旨在为一线教师精心筹划变式教学、周到指导学生提供参考资料。

一、高中数学变式教学基本形式

（一）类比变式

类比变式，主要在解题思路与方法层面类比，即针对某个典型题目的解题思路和方法进行变式，使母题与变式在解题思路和方法上一致。为落实此类变式，教师可以总结高中数学典型题目解题思路与方法，归类不同题型。

（二）逆向变式

逆向变式，是基于逆向思维变式，以便帮助学生深刻领会某个数学命题成立的必要性和其他逻辑形式，克服在概念、定理等方面的思维定式。比如，方程与不等式恒成立的逆向变式、几何结论逻辑推导的逆向变式。

（三）命题变式

命题变式，即改变母题题目条件或设问方式，保持知识点不变，变式生成新的题目。高中数学变式教学多以命题变式为主，特别是在初级阶段，命题变式经常为教师首选。教师可以先依据知识特点设置问题情境，引导学生探索问题的一般解决模式，使其在一定程度上理解知识点，再变条件、变设问手段，让学生重新在多个角度上思考和论证。

（四）情境化变式

情境化变式，重点应用在概念、公式、定理的变式中。教师利用特定情境展示数学公式、定理教学，指导学生从中提炼关键信息，将情境转译为数学形式的推理过程或数学运算语言，能够有效促进学生对公式、定理的吸收。

二、基于思维能力培养的高中数学变式教学策略

（一）精心筹划变式

高中数学变式教学能否完全起到培养思维能力的作用，取决于变式与教学内容的相关性及变式与学生阶段性学情的适应性，不是随意提出一个变式就能实现预期目标。因此，教师要立足实际，对变式进行精心筹划。

1.概念引起变式。

首先，可以将逆向变式融合在概念教学中，用概念引起变式。以新人教版高中数学教材为例，教材概念性数学语言多数只是在介绍概念“是什么”“有什么用”，缺少“概念为什么是这样”“怎样应用概念”的讲解。教师在教学中应补充概念“证据”，引导学生逆向推导概念，使学生在推理过程中锻炼思维能力。

例如，新人教版高一数学必修第一册（A版）《3.1 函数的概念及其表示》教学，教材这样描述函数概念：“一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A”，抽象性高度突出，且与初中阶段的函数概念有极大区别。即便有之前的“问题分析”和“信息归纳”，学生也会对概念感到模糊不清，甚至产生“为什么要重新定义函数”的疑问，导致出现思维断层。为避免此情况，教师可以先设计“题目1”，再抛出“题目2”“题目3”。

题目1：请列举几个函数，说出你认为它们属于函数的原因。

题目2：在此之前，你们已经学习了集合。如果用集合及其语言描述你理解的函数概念，你怎样想？

题目3：对照教材“函数”概念，说说你的想法和教材哪里不同。

一方面，“题目1”指向初中函数，“题目2”是初中函数到高中函数的过渡，在二者之间搭建了一个“集合”支架，“题目3”直接以高中函数为导向，具有进阶性。另一方面，“题目2”是“题目1”的变式，“题目3”精准对接教材，是“题目2”的变式。教师循循善诱，引导学生深入题目，先思考“函数x与y的对应关系”，再用集合语言描述函数，然后引进抽象符号f（x），理解其在高中函数概念中的具体意义。学生反复归纳高中函数特点，亲身感受概念推理过程，在锻炼思维能力的基础上，自然而然地夯实知识基础。

2.定理、公式拓展变式。

其次，可以将情境化变式融合在定理和公式教学中，以定理、公式为载体拓展变式。虽然教材上的很多定理和公式都言简意赅、易于理解，但若分析不到位，学生还是无法真正吸收，思维只能达到“记忆定理、公式”的层面，不能将其化为己用。对此，教师可以在情境化变式中提出真实的问题，让学生在真实情境中展开逻辑分析，发展思维能力。

例如，新人教版高一数学必修第一册（A版）《5.2 三角函数的概念》教学，教材在呈现“同角三角函数的基本关系”时，直接在“探究”板块后写明定理：“同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切”和公式：“sin2α+cos2α=1”“sinα/cosα=tanα”，一目了然。按照教材逻辑教学，虽然凭借探究经验，多数学生可以快速理解定理和公式的意义，但是仍然有些学生不能清楚讨论定理、公式的意义。而学生要想举一反三地运用定理和公式解决问题，不仅要理解定理、公式，还要能明白“为什么讨论这些定理和公式”，这就要求教师打破原有教学结构，以定理、公式为切入点，拓展变式教学。展开来说，教师可以设计以下问题情境。

已知sinα=3/5，且α在第一象限，求cosα、tanα的值。

情境紧扣“同角三角函数”知识点，在某种意义上是sin2α+cos2α=？与sinα/cosα=？的变式，不但可以不使用相关公式解决，还有多种解题思路。

而分析不同思路，可见其各有特点，再探其解决问题的原理，可知：只要已知三角函数正弦值、余弦值、正切值的一个，就可以求出另外两个函数值。教师可以相机点拨，引导学生思考“是否存在一个定理（公式），能够表示这三个函数值的关系”。这个定理（公式），就是本课要重点学习的定理和公式。学生顺理成章地根据问题情境中的发现推导教材定理和公式，锻炼思维能力。此外，讨论问题情境、得出三种解题思路、总结思路异同，学生分别运用了多向思维、归纳思维，有助于培养其思维能力。

3.习题深化变式。

最后，可以将类比变式、命题变式融合在习题教学中，以习题训练为载体，深化變式教学，培养学生高阶思维能力。习题教学是高中数学教学必不可少的一个环节，学生探究习题，克服重重阻碍，总结解决典型题的思路和方法，同样可以举一反三，发展归纳等思维的同时强化解题实践能力。教师要规避题海战术，始终围绕典型主题设计变式教学。

例如，新人教版高二数学选择性必修第二册（A版）《4.3 等比数列》教学，典型习题包括公比q的运用、求数列an通项公式等。教师可以根据实际教学进度，选择典型题。比如在“求数列an通项公式”习题教学中，设计“习题1”。

习题1：已知a1=1，an=2an-1+1（n≥2），求an。

师生共同剖析其解题过程，不难发现其解题方法为“构造法求an”。当数列形如an=Aan-1+B时，可依据已知条件构造新的数列an+λ，求得待定系数，从而化繁为简，顺利求解。之后，为使学生熟练掌握“构造法”，理解其解题思路，明确运用“构造法求an”的题目特点，教师可以提出“变式1”。

变式1：已知a1=1，an=3an-1+2n（n≥2），求an。

虽然“习题1”一样为an=Aan-1+B结构，但“变式1”中，B并非常数，而是一个含有n的式子，能否用相同方法求解还未知。教师可以先引导学生尝试。虽然一开始还不能构造等比数列，也不能就此放弃。教师可以提问学生：“既然两边加上相同的λ是行不通的，那么，两边加上不同的λ呢？”学生充分思考，不难想到对于原始右边的an-1，使λ为1/2，对应将左边an的系数λ修改为2。

第二次尝试构造数列，2可能与2n相关，是2！。师生共同反思解题过程，可以得出一个经验：首次构造数列若失败，可以挖掘题干要素，修改λ，就会找到新的思路。学生经过此练习，完善自己对典型问题的猜想：“针对形如an=Aan-1+B·qn的数列，求解其通项公式，都可运用相似方法，构造新的数列”，归纳、举一反三思维达到新的水平，同时达成对“构造法求an”的深刻掌握。

（二）周到落实指导

周到指导是指教师不仅要在学生探究变式题目的过程中介入指导，点拨学生解题思路和方法，还要在“探究方式”“拓展训练”两方面落实指导。前者是给学生创造通力合作的空间，使其在思维的碰撞中发现解决问题的创新切入点，提高思维能力。而后者，是根据学生变式教学反馈，针对性地补充训练和指导，深层讲解部分题目，让变式教学更大程度地满足不同学生思维能力发展需要，起到让学生思维持续发展的作用。

在主张引导学生合作交流的新课程改革背景下，合作探究已然成为高中数学常用教学模式。教师不仅要注意培养学生独立思考的思维能力，还要意识到合作探究的重要性，为学生搭建合作探究平台，使其在合作解决问题、研究论证数学结论的过程中发展思维能力。而从学生角度来看，合作探究促成优势互补、思维碰撞，对其总结变式规律有极高价值。教师应开发“合作探究”高中数学变式教学模式，积极落实学生合作探究指导。

例如，新人教版高一数学必修第一册（A版）《4.4 对数函数》教学，教师可以在复习课上设置下列题目。

题目1：求函数定义域：y等于根号下log以二分之一为底（x-1）的对数。

题目2：求函数单调递减区间：y=log以二分之一为底（x2-3x+2）的对数。

初看，“题目1”与“题目2”没有多大联系，除“都是对数函数”一个共同点外，函数关系式、问题都截然不同。但细细分析可以发现，“题目2”是“题目1”的拓展变式，要想顺利求出“题目2”函数的单调区间，必须先经历和“题目1”相同的过程：求解函数定义域，再应用复合函数“同增异减”原则。教师可以先让学生合作探究两个题目的相关性，得出“变式”结论，再逐题作答，按要求计算函数定义域和单调区间，形成不同思路。

学生合作讨论，避免执着地将题目视为两个毫无关系的问题，快速建立“变式”认知，不仅可以使教学效率大幅提高，还能使学生取长补短地训练自身变式分析和解题能力，延展思维。教师还可以根据实际情况，要求学生在合作探究结束后，选出代表汇报上述解题思路。

三、结语

作为学生，要避免僵化的思维，学会发散思考、总结归纳、活学活用；作为教师，要克服守旧习惯，学会创新，持续优化教学，帮助学生走出思维定式。基于思维能力培养的高中数学变式教学，意义便在于此。教师要巧妙地设计变式，全面指导学生，借助变式教学提升学生思维水平，使其最大限度地加深对知识点的印象，强化数学分析和实践能力。