用无穷矩阵方程证明雅各布·伯努利的幂和公式

杨庆玺 唐军强

（焦作大学基础教学部，河南 焦作 454000）

自然数的方幂和是一个古老的问题，许多数学家都曾经对其做过研究，如阿基米德，雅各布·伯努利，欧拉，日本的关孝和和松永良弼，中国清代数学家李善兰和夏鸾祥[1]。华罗庚先生和陈景润先生在这方面也做过深入的研究工作[2-3]。至今，仍有很多数学工作者在这个方面做着细致的工作[4-9]，原因在于该问题牵涉极广，与伯努利数、斯特林数、第二类欧拉数等都有关联，这就给了人们极大的兴趣和动力来讨论它。

本文将关于幂和的递推关系写成矩阵方程的形式,它的逆矩阵并不难获得，并且发现逆矩阵的元素与伯努利数之间存在关联，可以用伯努利数很好地解释，进而得到用伯努利数和伯努利多项式形式表示的幂和公式，然后证明了这样得到的结果与雅各布·伯努利的公式是一致的。

人们自然希望能够找到一个统一的公式，使得对所有的自然数都成立。瑞士数学家雅各布·伯努利在他的《猜度术》一书中给出了这样一个公式

这里，右端的级数加至n的最后一个正幂。也(1就)是说，如果k是奇数，则最后一项是n2；如果k是偶数，则最后一项是n。B n是伯努利数，有

并且存在递推关系

1.公式的推导

定理1 设 代表前n个自然数的k次幂和，则下面各式等价

结合(3)式，容易看到，(4)与(5) 式等价，(6)与(7)式等价，而(6)式正是雅各布·伯努利给出的公式。这里先给出(4)式的推导过程：基于二项式定理展开，推导各阶幂和满足的递推公式

然后将上面各式左右两端分别相加，得到

由此可以得到

至此，关键问题就在于如何去描述逆矩阵中的这些元素。事实上，它们与伯努利数和组合数相关，可以描述为

将（7）式代入（6）中，就可以得到

上面推导过程中用到了（2）式。

2.与雅各布·伯努利公式的一致性

证 将（4）式中的项做二项式定理展开:

展开后的常数项为

而展开后的系数为

从(12)式可以看到，当m=k+1时，其系数为1/(k+1)；当m=k时，其系数为1/2。也就是说，无论k为奇数或偶数，这两项都是存在的。除此之外，若k为奇数，则展开式中只有n的偶数次幂；若k为偶数，则展开式中只有n的奇数次幂。由此可得

这样就得到了 (6) 式。该形式简洁而统一，无需区分n的奇数次和偶数次项，伯努利数自然会达到这种效果。

3.结论

对于包含某个在整数范围内变化的角标的恒等式和递推关系，通常都可以写成一个无穷矩阵方程的形式，所要求的对象所构成的向量即为该矩阵方程的解。对无穷矩阵求逆，如果逆矩阵的元素存在某种规律性，那么就可以获得所求对象的一种表达式，这相当于是对递推关系的一种反解。但是，这不能算是一种证明，因为矩阵是无穷的，而计算则是有限的。所获得的公式是否准确，仍然需要有其他的手段来验证或给出证明。不过，这确实为发现问题提供了一种新视角，当人们纠结于某个恒等式，为复杂的计算过程而烦恼的时候，逆矩阵提供了一种全新的视野，而对于规律性的寻找则要求对于各种常数有敏感和熟练的认知。