Milosevic类似不等式的加强

湖南省长沙市望城区中小学教师发展中心 (410200) 刘先明

设ΔABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积分别为a,b,c,R,r,s,Δ,∑表示循环求和.(本文除特别说明外,取等号的条件都是“当且仅当ΔABC为正三角形时取等号”)

1991年,D.M.Milosevic提出了如下不等式:

本文获得(1)式的两个加强式.

先有三个引理:

引理1 (Gerretsen基本不等式)在△ABC中,有16Rr-5r2≤s2≤ 4R2+4Rr+3r2.

(R-2r)(R3+R2r+2r3).

∴定理2强于定理1,也强于引理3(即文[1]推论2).

由(1)式易得如下推论:

∴推论3强于推论2.