从“边界突破”到“无中生有”——小学数学创新意识培养的路径思考

文|蒋守成（特级教师）

创新人才的培养是新时代的教育责任和使命，而创新人才的培养不独指少数天才学生的培养，更指向培养每一位学生的创新意识、创新思维和创新能力的教育实践，数学作为基础学科对支撑引领创新驱动发展的源头供给能力有重要意义。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将“创新意识”列为数学课程要培养的重要核心素养之一，那么如何理解数学创新意识？我们的数学课程如何培养学生的创新意识？笔者进行了以下思考。

一、数学创新意识的内涵分析

2022年版课标在前版课标的基础上对创新意识的内涵有了更科学完整的表述，主要表现在三个方面：一是主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题。学生有如饥似渴的求知欲，能主动提出有价值的新问题，这是创新的基础。二是初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系和规律，提出数学命题和猜想，并加以验证。学生有与众不同的思维力，能发现新关系，提出新思路，这是创新的核心。三是勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题和数学问题。学生有别具一格的创造力，直面新挑战、获得新见解，这是创新的能力。创新意识的培养可以促进学生形成独立思考、敢于质疑的科学态度和理性精神。

数学创新意识的培养就是要让学生发现以前从未意识到的数学与数学之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的新关系，通过数学构建出以前从未有过的新想法、新事物，提供看待、思考和表达世界的新视角、新工具。这些新关系、新想法、新事物、新视角、新工具，扩展、深化、改变学生对数学世界和自我的理解，不断地突破边界，发现更大的数学世界，从而发现更大的世界。

二、创新意识培养的路径思考

创新意识产生在解决问题的过程中，这个过程极为特别又具有创造性。想得到最后的答案，必须通过循序渐进的理解和思索，其过程如同知识产生和发展的过程，不能强求而得，是一个“边界突破”的过程，是一个“无中生有”的过程，也是一个造就创新思考的快乐过程，每一个灵光乍现都像一次完美的演出，每一个问题的成功解决都是从大脑皮质“绽放的烟火”。

（一）边界突破，发现以前从未意识到的新关系

1.突破路径依赖，发现数学知识间的新关系

路径信赖就像物理学中的惯性，一旦进入某一路径（无论好坏），形成经验，就可能对这种路径产生依赖。这种惯性的力量，总是让学生选择一条不断自我强化且轻易不愿走出去的路。如何突破？我们通过主题活动、创新实践等方式让学生的认知改变在不经意间出现。例如，人教版六年级下册教学完“圆柱体的体积”后，教材安排了这样一个问题（如图1）：

图1

下面4 个图形的面积都是36dm2。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）

我们发现学生遇到有挑战性的问题，大多是根据已有的解决问题路径，先通过具体的数据计算得出结论：以长为底面周长时卷成的体积大，但是还没有发现内在的本质结论。这时学生产生了新问题，通过计算来判断太麻烦了，能不能不计算就发现怎么围哪个圆柱体积最大？四个长方形的面积都相等，也就是围成的圆柱体的侧面积都相等，侧面积和体积有什么关系？如何促进学生敢于跳出经验的路径，避免经验依赖，借助经验生成多维思维，向着创新的目标前行，我们以学生的问题为研究主题开展了“圆柱体体积再研究”主题学习活动，促进学生在对圆柱体有更系统的认识的基础上发现内在的新关系，找到解决问题的新路径。

首先，构建计算圆柱体体积方法的新系统。圆柱体的体积是由长方体的体积转化而来的，因为长方体有三个不同的面，所以体积计算有三种不同的表达形式，由此推断圆柱体的体积计算应该也有三种不同的表达形式，让学生构建计算体积方法的新模型，探寻圆柱体各部分的新关系，获得解决问题的新路径。如果将拼成的长方体翻转，即原来圆柱侧面积的一半作底，就可以得到新的方法，侧面积的一半乘底面半径（如图2）。

图2

学生运用这种方法来解释为什么以长边为周长卷出来的圆柱的体积大。同样会有本质的发现：侧面积相等（都是36 平方分米）的情况下，半径越大，体积越大。所以不用计算，在四个图形围成的7 种不同的圆柱中，第一个图形长边18 分米为底面周长时体积最大，也是第一个图形短边2 分米为底面周长时体积最小。同样道理，将长方形分别以长和宽为半径旋转形成的圆柱体哪个大？（如图3）通过推断得到新的计算体积的方法，轴截面积的一半乘底面周长的一半，因为轴截面积相同，所以底面周长越长，体积就越大，这样推断出结论既方便又理性。

图3

通过教材中的这个问题，让学生了解到圆柱和长方体的体积之间还有如此丰富的内在联系，打破了学生已有的路径依赖。

承德市营子区滨河路小学位于鹰手营子矿区东北部，坐落在柳河之滨。建校六年来，学校始终抓住培养学生创新精神和实践能力这条主线，以太空种子种植为龙头，以机器人教育创新活动为平台，打造科技创新示范校，取得了骄人的成绩。

又如，我们在五年级设计了“画正方形”主题学习活动，要求学生在5×5 的方格图上（每个小方格的边长为1 厘米）画一个正方形，并且画出的正方形的顶点都在格点上。学生根据已有的经验和思维惯性很快画出了五个边长分别是1 到5 厘米的正方形，学生说太简单了，没有挑战性。这时教师提出：要求不变，再画一个和刚才画出的正方形都不一样的正方形。学生的创新意识立刻被激发出来，发现除了可以正着画还可以斜着画，画出了面积为2 平方厘米、5 平方厘米等大小不同的正方形（如图4），引发了学生的进一步探索，学生利用平移、旋转等方式证明这个正方形面积为2 平方厘米的同时发现它的边长在1.4 厘米至1.5 厘米之间，其实这就是无理数，数学历史上无理数的发现还引发了数学界的“第一次危机”。面积为5 平方厘米的正方形就是古代数学家赵爽的弦图，用这个图还可以证明勾股定理。按熟悉的路径解决问题是一般的方法，是稳定的解决方案，但缺乏创意和创新，需要学生打破固有的思维定式，不断发现形与形之间、数与数之间、数与形之间的新联系和新关系。

图4

2.突破固有认知，发现跨学科知识间的新关系

乔布斯曾经说过，创新就是把不同的事物联系起来。数学家皮埃尔·德利涅更是强调：“在数学中，当你发现两个看似没有共同之处的东西事实上相互关联是一种乐趣，而在两个问题之间建立一个支点则是一个强大的工具。”可见，数学学习中如果能突破固有认知，把不同领域的知识、方法和思想关联融合，让学生探索跨领域、跨学科知识间的内在联系，不仅可以提升学生解决真实问题的能力，还能培养学生的创新意识和创新能力。

例如，我们在六年级开展了“你的书包超重了吗？”项目化学习活动，学生关于“超重”的概念并不陌生，从“人的超重”到“物体的超重”无不意味着某个平衡标准被打破。例如人超重则比较肥胖、电梯超重则不能正常运转、卡车超重则会被罚款，经验告诉学生“超重现象”一般是超过了某个固定重量，而不是相对重量。“你的书包超重了吗？”项目化学习活动突破了学生的固有认知，学生主动提出并解决了三个问题：“自己的书包是否超重？”“书包超重的标准是什么？”和“书包超重了，该怎么办？”学生经过独立思考、小组合作，商议并制定初步方案，在实验探究中结合变量“书包重量”“脊柱弯曲度”从两个维度分析问题，发现了书包超重的标准不是固定的，它与人体的体重有关，超过人体重量的10%～15%即为超重。如果书包超重了，该怎么办？学生的方法主要可以分为两类：一类是减轻书包的重量，另一类是增强自己的力量，并提醒自己要懂得整理规划，保持良好的学习习惯，还督促自己要勤于锻炼，增强体魄。实验探究不仅保持理性本质，还融入了健康生活、体育锻炼的积极因素。

以“书包超重”为主题组织跨学科项目化学习活动，深度链接“数学”“体育与健康”和“心理健康”等不同学科，在挑战复杂问题的过程中获得新体验，提出新问题，形成新联系。

（二）无中生有，构建出以前从未有过的新想法、新事物

老子说：“反者道之动，弱者道之用。天下万物生于有，有生于无”，即万物都是从“无”中产生的。无中生有，是整个人类历史发展的一个过程，也是很多创新能够完成的基础。无中生有并不完全是从虚无当中来，而是在个体或组织已有思考的基础构建出来以前从未有过的新想法、新事物。

1.无中生有，新想法提供思考问题的新视角

无中生有，就是要促进学生像数学家那样去思考，创造性地去思考问题、探索规律，产生新思路，获得新见解，用新思路、新见解来观察和思考现实世界。

例如，在学校六年级质量调研中呈现了这样一个问题：“二战”期间，为了加强对战机的防护，英美军方调查了作战后幸存飞机上弹痕的分布（如图5），决定哪里弹痕多就加强哪里。然而统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位，事实证明，沃德是正确的。请同学们写出统计学家沃德正确的理由。学生像统计学家沃德一样去思考，认为幸存飞机上弹痕少的部位，就是受到重创不能返航的战机上弹痕多的部位，所以要加固幸存飞机上弹痕少的部位。这样从看不见的数据中发现看得见的真相。

图5

又如，在研究数学游戏学家杜德尼发现的“省刻度尺”（如图6）时，学生发现一把5 厘米长的直尺省了两个刻度（1 和3）照样可以量出1 到5 厘米所有的刻度，觉得很神奇，发现“少”可以表示“多”，“省”是一门学问，也是一种创新。由此学生带着这样的新想法去思考，为什么公顷和平方米之间要省掉一个计量单位公亩？为什么人民币有1 元、5 元的币值，而没有3 元和4 元呢？为什么有了厘米和米，还要学生活中很少用到的分米呢？引发学生产生更多的问题，进行持续的研究。

图6

2.有中生优，新事物提供解决问题的新工具

有中生优，就是要求每位学生在问题解决的过程中从有方法，到方法多，再到方法优的过程；就是不把“之一”当“唯一”，精益求精，不断创新，探寻解决问题的新路径，发现解决问题的新工具、新方法，从而发现新关系、新规律，形成新观念，甚至创造出新事物。

例如，苏教版六年级下册“综合与实践”——大树有多高的教学。经过学习，学生掌握了通过影长算出大树高度的一般方法。“工业4.0 时代”带来了新技术，为创新提供了新工具，用手机软件按一定的操作要求拍下大树照片，就能自动算出大树的高度，新工具超越了每个人的想象。新工具孕育新思路，即便学生不能熟练运用这项技术，拍下一张简单的“合影”，根据自己的身高，运用比例的知识也能算出大树的高度，助推思维层面的创新。让“稚嫩”的创想茁壮成长，从“创想”到“创作”经历创造的全过程，在和合发展、开放自由的环境里发展学生的创新意识。在前期问卷调查中，不少学生提出先将风筝放到和大树一般高，再根据风筝线的长度推算大树的高度的想法，创意无限，学生总能给我们带来意料之外的惊喜。然而很快便有学生提出质疑，认为这项方法由于风筝角度的偏差会导致误差较大。反向追问，那么角度对测量大树高度有帮助吗？答案是肯定的，不妨基于相同时间树高和影长成正比例的原理教会学生用大拇指测量高度，乃至自制简易的“测量工具”，让误差成为创新进一步生长的土壤。

又如，六年级学生开展“树叶的面积有多大？”数学主题活动时，学生经历了借助方格图估算树叶的面积（如图7），还经历了借助绿豆转化成长方形来求面积（如图8）。但这两种方法得到的面积都不精确，有什么办法可以求出树叶精确的面积？通过实验学生发现任意两块材质相同、厚度相同的木块，它们的面积和重量成正比例，也就是说第一块木块的重量是第二块木块的几倍，那么第一块木块的面积就是第二块木块的几倍，由此发现了“称重法”求树叶的面积，将求树叶的面积转化成称重量（如图9）。

图7

图8

图9

“称重法”将数学和物理联系了起来，实现了思维的跨界，这种方法的价值不仅是方法上的创新，解决了精确求出不规则物体面积的方法，更是思维方式的创新，引发了学生持续创新的热情。学生从数学阅读中还知道了一种蒙特卡罗法：考虑平面上一个边长为1 的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？蒙特卡罗法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷a 个点，有b 个点落入这个不规则图形中，则该图形的面积近似为，学生还在网上查找了相关资料和研究，尝试用统计的方式来求树叶的面积，引发了学生对用“统计与概率”解决“图形与几何”等其他问题的思考，为什么可以这样做？背后的原理是什么？

哲学家叔本华说：“世界上最大的监狱，是人的思维意识。”不得不承认，有时候限制住创新意识和创新思维的正是自己的思维，这就需要我们让学生直面复杂问题的真实情境，跨越固有认知障碍，进行跨界联结，实现“边界突破”，达成“无中生有”，能够提出新问题，生成多维思维，开辟新思路，达到新境界，向着创新的目标不断前行。