地球隧道中的42分钟

2023-05-30 23:10欧阳志辉陈海秀
物理教学探讨 2023年3期
关键词:万有引力周期

欧阳志辉 陈海秀

摘   要:简谐运动是机械运动中的一种最简单的运动,也是高中物理教学的重要知识。利用简谐运动基本理论,讨论了假想的地球隧道中石头的运动情况及运动时间。

关键词:简谐运动;万有引力;周期

中图分类号:G633.7 文献标识码:A     文章编号:1003-6148(2023)3-0063-2

如果沿着地球直径或其他地方打一条隧道,从隧道的一端释放一块石头,石头掉下去要经过多长时间才能到达另一端?如果忽略阻力、温度变化、地球自转等影响,假设地球质量分布均匀,答案是42分钟。关于为什么是42分钟,下面运用简谐运动规律来分析。

1    简谐运动

如图1所示,小球套在光滑的杆上,弹簧的质量远小于小球的质量,这样的系统称为弹簧振子。如果把小球拉向一方后放手,小球在平衡位置附近做往復运动,这种运动称为简谐运动。简谐运动中质点的位移与时间的关系遵从正弦(余弦)函数的规律,即x=Asin(ωt+φ0)。简谐运动同时也满足F=-kx或F=-mω2x。

由于简谐运动是变加速运动,讨论起来极不方便。为此,可引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐运动。以平衡位置O为圆心,以振幅A为半径作圆,这种圆就称为参考圆。如图2所示,设有一质点在参考圆上以角速度ω沿逆时针方向做匀速圆周运动,它在开始时与O的连线跟x轴夹角为φ0,那么在时刻t,参考圆上的质点与O的连线跟x轴的夹角就为φ=ωt+φ0,它在x轴上的投影点的坐标x=Acos(ωt+φ0)。

3    近地卫星

因此,石头在隧道中的运行时间为近地卫星周期的一半,那就是42分钟。

4    其他隧道

如果在地球其他位置打通这样的隧道(图6),忽略空气阻力、温度变化、地球自转等因素,认为地球质量分布均匀、隧道是光滑的,在隧道的一端放下一个物体,物体从这端到达另一端的时间是多少呢?答案还是42分钟。这个结果也可用简谐运动规律来解释。

由此可知,物体在x轴上的运动也是一个简谐运动,而且它的圆频率和直径隧道的圆频率是一样的。因而,物体从一端到另一端的时间也是42分钟。

(栏目编辑    蒋小平)

收稿日期:2022-10-30

作者简介:欧阳志辉(1980-),男,中学高级教师,主要从事高中物理教学工作。

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