万有引力与重力以及向心力的区别与联系

杨学斌

【摘 要】笔者从自己的教学实践出发，结合许多学生在学习万有引力与重力以及向心力的关系时都遇到了一定困难的现状，分析了学生学习这部分知识的困难原因，并结合自己的教学实际，提出了几个方面的教学思考。为学习万有引力与重力以及向心力的关系教学困难提供了比较好的解决方法。

【关键词】万有引力；重力；向心力；区别

从教18年以来，笔者在有关万有引力与重力以及向心力的关系的教学问题中，总会遇到不少麻烦，特别是随着高中教育的逐步普及，现在有更多学生反映万有引力与重力以及向心力的关系的问题难懂。万有引力与重力以及向心力的关系的问题究竟“难”在哪里？有什么好的方法能帮助学生突破这一知识的难关呢？笔者结合人教版高中物理必修2第六章的内容，进行一些探讨：

一、明确地球对地面物体万有引力、重力及提供的向心力不同之处

1.地球对地面物体的万有引力

地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的公式决定，其方向总是指向地心。

2.地面物体所受的重力

处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，其大小为mg，方向竖直向下（绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心”）。地面上同一物体在地球上不同纬度处的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大——这种现象不是‘超重，应该与‘超重现象严格区别开来。以地球赤道上的物体为例，质量为m的物体受到的引力为F=GMm/R2，因此物体与地球一起转动，即以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为 F向=mωR2 =mR4π2/T2.因地球自转周期较大，F向必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极M或N上时其重力等于受到的万有引力。一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小，有时可以近似认为重力等于万有引力。

3.地面物体随地球自转所需的向心力

由于地球的自转，处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2（ω是地球自转角速度，r是物体与地轴间的距离，T是地球的自转周期），其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体，这一向心力在赤道时最大，F大=mω2R（R是地球半径）；在两极时最小，F小=0。

因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图4-5所示.

实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图4-5所示。这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力。在赤道上时这些力在一条直线上。

二、明确地球对地面物体万有引力、重力及提供的向心力三者间的关系

地面物体随地球自转所需向心力F向=mω2r=mr4π2/T由万有引力F引=GMm/R2提供，F向是F引的一个分力，引力F引的另一个分力才是物体的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四边形定则，大小关系是F引≥mg>F向。

例1：已知地球半径R=6.37×106m.地球质量M=5.98×1024Kg，万有引力常量G=6.67×10-11Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量m=1Kg的物体对弹簧秤的拉力多大？

由计算可知，引力F=9.830N远大于向心力F向=0.0337 N，而物体所受重力9.796N与物体所受的万有引力F=9.830N相差很小，因而一般情况下可认为重力的大小等于万有引力的大小。但应该切记两点：①重力一般不等于万有引力，仅在地球的两极时才可有大小相等、方向相同，但重力与万有引力仍是不同的两个概念。②不能因为物体随地球自转所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别。

例2：地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（ ） 倍

A. B. C.

正确答案为选项A。当赤道上的物体“飘”起来时，是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可。

例3：假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球质量M地之比M火/M地=p，火星的半径R火和地球半径R地之比R火/R地=q，那么离火星表面R火高处的重力加速度和离地球表面R地高处的重力加速度之比等于多少？

由于引力定律公式中只有乘法与除法，故可以运用比例法进行求解。对星球表面上空某处的重力加速度公式，也可以这样理解：g′和星球质量成正比和该处到球心距离的平方成反比。

三、明确地球对天体（行星，卫星）和人造地球卫星万有引力、重力及提供的向心力关系

针对天体（行星，卫星）和人造地球卫星的运行问题（包括线速度、周期、高度 ），可以看作匀速圆周运动，从而运用万有引力定律。这类“天上”的物体作匀速圆周运动的向心力仅由万有引力提供。对于地面物体，其重力由万有引力产生，若忽略随地球自转的影响，则其重力等于万有引力。由于 “天上”的物体（如行星、卫星）与地面上的物体虽然遵守相同的牛顿力学定律，但也有本质的区别，通常在解决卫星问题时要特别注重以下三个等量关系：

若万有引力提供向心力，则有GMm/r2 =ma向

若重力提供向心力，则有 mg= ma向

若万有引力等于重力，则有GMm/r2 =mg

以上三式不仅表现形式有异，而且其物理意义更是各有不同，必须注意区别辨析。同时因向心加速度a向又具有多种不同的形式，如a向 =v2/r =ω2r= 4π2 r/T2 ……则可以得以下几组公式：

（1）由 GMm/r2 =ma向 得

GMm/r2=ma向→a向=GM/r2→a向∝1/r2。

GMm/r2 =m v2/r→v =→v∝1/

GMm/r2 =mω2r→ω=→ω∝1/

GMm/r2=m4πT2r/T2→T=2π →T∝

对于以上各式，“中心天体”（如地球）一定，则其质量M是一定的。因此“环绕天体”（卫星）绕其做匀速圆周运动的向心加速度a向、运行速度v、运行角速度ω、运行周期T仅与距离r有关。即以上各量仅由距离r即可得出，故以上各式可称之为 “决定式”。这组决定式适应于用 “G、M、r”表示待求物理量的题目。

（2）由 mg= ma向可得

mg= ma向→a向=g

mg= m v2/r→v=→v∝

mg= mω2r→ω=→ω∝1/

mg= m4π2 r/T2→ T=2π→T∝

以上各式之中，作匀速圆周运动的物体（如卫星）的运行速度v、角速度ω 、周期T由距离r和重力加速度g共同决定。其中的“g“也是一个随距离r而变化的变量，而不能认为是一个恒量。这组公式是由GMm/r2 =mg的代换关系得到的，一般适应于已知“g、r”而不知“G、M”的题目。