关注过程 尊重生成

宋吝

[摘  要] 在课堂教学中，教师应为学生提供一个互动交流的平台，鼓励学生去思考、去合作、去探索，带领学生亲身经历知识形成和发展过程，以此深化学生对知识的理解，培养学生思维的灵活性和深刻性. 文章以“点到直线的距离”一课为例，通过研究性学习带领学生亲身经历公式的推导过程，让“教”与“学”在互动中得以发展和提升.

[关键词] 互动交流;过程;发展

在传统的高中数学教学中，为了赶时间、赶进度，大多数概念、公式、定理的教学以教师讲授为主，然后通过大量的练习帮助学生巩固知识，这样表面上看学生能够应用所学知识解决大量问题，但是因为缺少概念、公式、定理等形成和发展的过程，难以让学生形成深刻的印象，不利于学生长远发展. 另外，知识的形成和发展中往往会有许多精彩生成，若在教学中忽视过程会让学生错失许多精彩，不利于学生数学学习兴趣的激发和学习能力的提升. 因此在教学中，教师应多带领学生经历知识形成和发展过程，启发学生从不同的角度思考，以此发展学生“四基”，培养学生“四能”.

笔者以“点到直线的距离”一课为例，通过经历公式的推导过程激发学生的潜能，让学生掌握数学研究方法，培养学生合作探究的意识.

基本情况

1. 学情分析

学生的基础较好，具有一定的自学能力、推理能力和抽象概括能力. 同时，学生乐思考、善合作，具有较强的合作探究意识. 在本课学习前，学生具有探究两点间距离的活动经验. 以上经验、能力为教学活动的顺利开展提供了智力支持和方法保障.

2. 教学目标

（1）掌握点到直线的距离公式，能应用公式解决一些简单问题;

（2）理解公式的推导;

（3）渗透数形结合、化归转化等数学思想方法，培养学生勇于探索、敢于创新的精神;

（4）培养学生观察、分析等数学学习能力，让学生理解并掌握数学研究方法，体验数学探索的乐趣，激发学生的数学学习兴趣.

3. 教学重难点

点到直线距离公式的推导及应用.

教学实录

本课内容既是高考的重要考点之一，又是学习解析几何的基础之一，其在整个高中解析几何中有着重要作用. 在本课教学中，教师精心预设，引导学生通过观察、思考、猜想、探索等活动推导点到直线的距离公式，发现并证明两直线间的距离公式.

1. 创设情境，提出问题

出示问题：已知平面内一点P（x0，y0）和一条直线l：Ax+By+C=0，试求点P到直线l的距离d.

问题给出后，教师预留充足的时间让学生独立思考，学生很快就有了解题思路.

生1：如图1所示，过点P作直线l的垂线，垂足为H，将问题转化为求两点间的距离，即求PH的长.

师：是一个不错的想法，将问题转化为我们熟悉的内容. 请按照这个思路试一试，看看操作起来会怎样.

生2：这个思路操作起来会很烦琐.

师：你是如何判断它烦琐的呢？

生2：教材上看到的. （学生笑）

从学生的课堂反馈来看，大多数学生课前做了预习，不过从预习反馈来看，大多数学生走马观花，仅是简单的预览，并没有动手实践.

师：看来大家通过预习发现该方法运算烦琐，现在我们一起来看一下具体是如何运算的. （教师投影展示）

由点到直线的距离定义可知，点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段的长. 设过点P的直线l的垂线为l′，垂足为H，则l′的方程为y-y=（x-x），與l的方程联立成方程组，解得点H的坐标为

，

，则PH2=

-x

+

-x

=

+

=+=，故d=PH=.

师：上述方法虽然运算过程烦琐，但其思路简单，易于理解. 你们是否还有其他求距离的方法呢？

生3：等积法.

师：具体说一说你是如何推导的.

生3：如图3所示，过点P作PM∥y轴，过点P作PN∥x轴，PM=

，PN=

（易证）. 在Rt△MPN中，PH为斜边MN的高，所以PH==.

师：大家预习的效果非常好，思路清晰.

设计意图 借助问题检查学生对教材的掌握情况，从课堂反馈来看，大多数学生对课本内容较为熟悉，给出了不同的推导方案，学生的反应和回答都在预设之中. 以上分别运用代数法和几何法完成了公式的推导，让学生感悟到了不同方法的价值. 在教学中，教师与学生一同经历了公式的推导过程，拉近了师生间的距离，有效地提升了学生的解题信心. 同时在教学中，教师引导学生经历了直观观察、动手实践、思考分析等学习过程，有效锻炼了学生的思维，让学生感受到了用数形结合思想方法解决解析几何问题的价值.

2. 师生互动，合作探究

在教师引导学生回顾推导方法时，有些学生跃跃欲试想要表达什么，可见他们有了新想法. 虽然学生的新想法可能会打乱教学预设的节奏，但教师还是选择尊重课堂生成，给学生充分展示自己的机会.

师：现在有的学生又有了新的发现，我们一起来看一看都发现了什么.

生4：不求H点的坐标也可以求出距离d.

师：哦，是吗？这个我并未尝试过，请你说一说具体应该怎么做.

生4：设点H（x，y），则Ax+By+C=0，而k=，所以=，则B（x-x）-A（y-y）=0①. 由Ax+By+C=0可得Ax-Ax+By-By=-C-Ax-By，所以A（x-x）+B（y-y）= -（Ax+By+C）②……

师：非常好，这是一个非常不错的想法，看来生4在课前有过深入思考. 请生4先坐下，大家思考一下接下来该如何求距离d. （教师适时打断生4说话，给其他学生预留一定的思考空间，让其他学生能够通过独立思考完成下面内容的探究）

师：大家以小组为单位交流一下自己的想法. （学生积极交流，教师巡视，课堂气氛热烈）

师：现在请生5完成剩下的内容. （教师点名让学生完成）

生5：由Ax+By+C=0知Ax-Ax+By-By=-C-Ax-By，所以A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C）②. 又B（x-x）-A（y-y）=0 ①，①和②分别平方后相加得（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]=（Ax+By+C）2，所以d==.

师：非常完美的解答过程，感谢生4给我们提供了这么精彩的解题思路，现在我们一起回顾一下以上求解过程.

师：注意到d=PH=，因此求（x-x）2+（y-y）2即可. 在整个解题过程中是否需要求点H的坐标呢？

学生齐声答：不需要.

师：我们虽然设了点H的坐标，但是在求解过程中却不需要求出H的坐标，这样的数学思想方法叫什么？

学生齐声答：“设而不求”思想方法.

师：很好，这个方法之前我们也接触过，那么运用“设而不求”思想方法解题时，往往还涉及什么思想方法呢？

学生齐声答：整体代换思想方法.

师：非常好，运用“设而不求”思想方法减少了运算量，这一思想方法在解决解析几何问题时有着重要作用，充分展现了数学的内在美.

设计意图 该班学生的基础较好，有着良好的自主学习习惯，为了能够调动学生学习的积极性，教师改变传统的讲授式教学，而将研究性学习引入课堂，充分展现了学生的思维过程，使学生真正成了课堂的主人. 在教学中，教师为学生提供了自我展示的舞台，鼓励学生表达不同的看法. 生4给出解题思路后，教师适时打断了他发言，为其他学生提供了一定的思考时间，以此让大多数学生都能参与其中，积累丰富的活动经验.

课堂教学是动态的，在课堂上可能会出现许多的“突发奇想”，教师对这些“突发奇想”的处理方式直接影响着课堂效果. 在教学中，教师如果仅按照预设教学，讲授完两种不同的推导方法后就直接运用公式解决问题，课堂上就会错失刚才的精彩. “生成”是宝贵的教学资源，教师应用心摘取，这样既有利于激发学生的主观能动性，又能培养学生的创造性思维. 在教学中，教师应尊重课堂生成，通过“教”与“学”的协同发展，激发学生的思维火花，优化学生的认知. 总之，在教学过程中，教师不要一味地追时间、赶进度，要学会放慢脚步，为学生提供独自思考和合作交流的时间与空间，为学生搭建平等交流的舞台，使学生的思维水平和学习能力在独立思考和互动交流中不断上升.

3. 乘胜追击，拓展提升

经过刚才探究，学生的学习热情高涨，教师抓住机会乘胜追击，进一步深化学生的认知.

师：当点H在直线l上运动时，PH的长有何变化特点？

生6：PH有最小值，即当PH与直线l垂直时取最小值.

师：很好，那么如何求PH的最小值呢？（学生陷入沉思）

生7：PH2=（x-x）2+（y-y）2=（x-x）2+

-

x-

-y，这样将问题转化为求二次函数的最小值.

师：很好，利用函数法能否求PH的最小值？（学生深思）

生8：上式展开得PH2= x2+x-2x0x+x2+

+

y+

+

yx. 接下来继续展开，但我还没有想清楚展开后该如何处理.

生9：可以分别合并含有x2，x的项和常数项，整理后得PH2=x2+

+

y

-2xx+

+

y+x.

（接下来师生合作共同完成公式的推导，学生积极参与，课堂气氛活跃）

设计意图 教师引导学生从不同的角度进行思考，运用不同的方法解决问题，通过解法的拓展来丰富学生的解题经验，发展学生的数学思维，将学生的学习能力和学习兴趣在积极参与的过程中激发出来.

师：以上我们分别利用定义法、三角形面积法、“设而不求”法、函数法等方法进行了公式推导，其实该公式的推导并不限于以上几种方法，因限于时间，课上不再一一讲解如向量法、转化法等方法，请同学们课下通过小组探究的方式探寻其他方法.

设计意图 学生具有无限的创造力，不过学生创造力的培养离不开教师的引导和激发. 教师鼓励学生课后继续探寻其他的推导方法，以此通过适度拓展激发思维活力，提高学生的学习信心.

4. 学以致用，巩固提升

师：刚刚大家利用不同方法推导出了点到直线的距离公式，思考以下问题如何求解. （教师用PPT给出例题）

例题1：已知点P的坐标为（2，1），求点P到直线l：2x-3=0的距离.

例題2：已知点P的坐标为（-3，4），求点P到直线l：4y=3x+10的距离.

例题3：已知直线l经过点（-2，3），且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程.

对于例题1和例题2，学生套用公式即可给出答案. 对于例题3，部分学生因忽视直线斜率是否存在而出现了漏解，教师对此进行了重点讲解.

师：对于例题3，谁来说一说，应该如何求解呢？

生10：根据已知，设直线l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，由d==2，得k=-，即直线l的方程为5x+12y-26=0.

师：很好，灵活运用点到直线的距离公式解决了问题，那么对于这一过程，你们是否需要补充？

生11：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-2，符合“原点到直线l的距离为2”这一条件，此时所求直线l的方程为x=-2.

设计意图 公式的运用是学习公式的重要组成部分. 在完成公式的推导后，引导学生运用公式解决问题，通过具体应用达到巩固所学知识的目的. 在教学中，教师精心设计问题，通过具体应用进一步强化学生的分类讨论思想，培养其思维的严谨性. 在运用公式解决问题时，教师将主动权交给学生，灵活应用解题时出现的“生成”，通过互动交流不断完善学生的认知，避免单一讲授所带来的机械模仿，培养学生思维的严谨性和深刻性，提升学生的解题能力.

5. 课堂小结，升华认知

师：回顾本节课学习的内容，你有哪些收获？

生12：我不仅掌握了点到直线的距离公式，而且理解了其推导过程.

生13：理解了设而不求、整体代换等思想方法重要的应用价值.

生14：解决解析几何问题时会经常遇见一些复杂运算，面对复杂运算时应重视方法.

生15：解决问题时要善于多角度分析，这样可能会有不同的发现.

……

师：大家说得非常好，在学习中不仅要思考，而且要敢于创新，要大胆地将自己的想法表达出来，这样往往会收获更多.

设计意图 通过课堂小结帮助学生总结方法，提炼思想，提升认识. 课堂小结可谓数学教学中重要的组成部分之一，不过在实践教学中，受传统“题海”的影响，教师常常侧重“多讲多练”，占据了学生反思小结的时间，这样既不利于提升学生的概括能力，也不利于培养学生的反思习惯. 因此，教师应预留时间让学生反思、交流，以此升华认知，提升综合素养.

教学思考

在本节课教学中，教师根据课堂生成灵活调整预设的教学目标，以公式的运用为点缀，将教学重点放在公式的推导上，虽然表面上偏离了教学目标，未完成教学计划，但是课堂上通过平等和互动的交流让学生发现了解决问题的办法，培养了学生的探究性思维，提高了学生的创造力.

在教学中，教师及时捕捉关键信息，引导学生展开积极思考，通过对知识的深度挖掘和拓展有效地发展了学生的数学思维，提高了学生分析和解决问题的能力. 在教学中，教与学相互激发，协同发展，使课堂成就了别样精彩.

总之，在课堂教学中，教师既要精心预设又要及时生成，充分发挥学生的主体地位，鼓励学生去思考、去实践、去合作、去表达，以此打造有效、高质的数学课堂.