“正方体截面的探究”单元教学之课时要素设计

胡勇进

[摘  要] “课时要素设计”是单元教学整体设计的第二阶段，采用“问题链+任务单”教学方法，创设情境与问题，设计教学环节，促进学生真实学习.

[关键词] 正方体截面的形状;课时要素设计

前文《“正方体截面的探究”单元教学之单元要素整体设计》已说明本单元教学划分为2个课时内容，第1课时为“正方体截面的形状”，第2课时为“正方体截面的作法”，它们是自主合作探究发现问题和作图论证解决问题的关联融合关系. 本文以“正方体截面的探究”单元教学之第1课时“正方体截面的形状”为例，介绍单元整体教学之“课时要素设计”的主要内容.

教学目标

经历观察与发现、探究与证明的过程，归纳正方体截面的形状，增强正方体模型意识;在情境與问题中体验分类讨论、数形结合思想;发展直观想象、数学抽象等核心素养.

教学策略

教学重点：分类找出所有可能的截面.

教学难点：证明截面的某形状存在或不存在.

教学资源：自制教具、数字化平台、平板电脑.

教学方法：基于单元导引的“问题链+任务单”教学方法.

学习评价

见表1.

教学流程

流程图参见前文《高中数学“问题链+任务单”单元式教学策略探索》.

教学过程设计

1. 课前学习单

准备多个可以切割的正方体模型（比如萝卜块、花泥等），有颜色的水和正方体玻璃缸.

2. 情境导入

播放《舌尖上的中国》厨师切食材的切面形状，导入本节课的截面概念，播放各小组学生在课前学习单中的探究视频.

【问题1】什么是截面？多边形截面的边是如何形成的？

设计意图 通过动手操作切萝卜块或花泥，或者往正方体玻璃缸注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状，借助信息技术设备直观快捷地展示各种可能的截面，体验生活中几何体的截面形状，对截面形状提出猜想，启发学生的思路，激发学生的学习兴趣，抽象出截面概念.

3. 探究交流，成果展示

【问题2】请各小组做实验，向玻璃缸注入有颜色的水，观察截面形状.

【任务1】讨论正方体的截面形状的边数.

设计意图 让学生经历完整的数学探究过程，包括观察、想象、猜想、验证、推理等思维发生发展过程，归纳正方体的截面形状有三角形、四边形、五边形、六边形.

【问题3】如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？

【追问1】观察水面与正方体的顶点、棱、面之间的位置关系，并画出三角形截面示意图.

【追问2】请分享画出三角形截面的过程.

设计意图 引导学生有序、有逻辑地从宏观到微观进行分类探究，层层递进，在探究过程中理解空间几何体的基本要素为形状、大小和位置关系.引导学生从正方体的顶点、棱、面与三角形截面的图形特征去研究三角形截面的形状，并能描述大致示意图.

【问题4】如果截面是等边三角形、等腰三角形，棱与截面交点的位置特征有哪些？

【追问3】我们还可以从哪个角度去探究？三角形截面有什么共同特征？

设计意图 通过对三角形截面的边角关系进行分类探究，初步了解棱与截面交点的位置特征是一个重要抓手.

【问题5】实验表明，三角形截面只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形，为什么？说明理由.

【任务2】学习小组利用平板设备投屏分享展示.

设计意图 通过操作观察和猜想，分类找出所有可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或一定不存在，让学生体会由特殊到一般、分类讨论数学思想.利用余弦定理可以证明截面的形状为锐角三角形，并归纳锐角三角形为截面的共性结构特征. 如图1所示.

【问题6】是否存在截面面积最大的三角形？如果存在，这样的三角形是什么形状？

【追问4】假定正方体棱长为2，截面面积最大的三角形面积是多少？

设计意图 如图2和图3，通过对三角形截面面积和截面图形的大小进行探究，加强学生对正方体截面形状、大小、位置关系特征的理解，初步了解如何通过运算求解定量描述位置关系.

【问题7】如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？

【追问5】你能作出相应形状的示意图吗？

【任务3】学习小组转动玻璃缸，并画出示意图，借助几何画板分享展示成果. 如图4所示.

【追问6】还能截出哪些多边形？为什么？

设计意图 通过三角形截面类比四边形截面的探究，培养学生的合作探究能力、直观想象数学素养、转化与化归数学思想.

【问题8】如果截面是五边形，这些五边形的几何特征有哪些？

【追问7】是否存在正五边形截面？为什么？

【任务4】学习小组转动玻璃缸，记录实验结果并拍照上传平板设备，如图5所示. 画出示意图，如图6所示. 思考：是否存在正五边形截面，为什么？

设计意图 让学生利用正方体玻璃缸进行转动活动和利用示意图进行讨论探究，训练学生发现问题、作图表达、推理论证等能力.

【问题9】截面的形状可以是六边形吗？

【追问8】是否存在正六边形截面？为什么？

【任务5】转动玻璃缸，记录实验结果并拍照上传平板设备，如图7所示. 画出示意图，如图8所示. 思考：是否存在正六边形截面，为什么？

【追问9】学习小组转动玻璃缸，观察截面形状，存在超过六边形的截面吗？为什么？

设计意图 类似寻找四边形、五边形截面的实验操作，类比发现截面形状可以是六边形.学习小组转动玻璃缸，引导学生观察实验过程，提出可能存在正六边形的猜想，通过画示意图进行验证、推理分析并给予证明.进一步观察，引导学生聚焦棱与截面交点的位置，由于任何截面至少与三个面相交，至多与六个面相交，所以不可能存在超过六边形的截面. 学生完整经历数学探究活动过程，在实验探究、推理论证中提升分析问题、解决问题的能力.

【问题10】学习小组转动玻璃缸，并画出示意图，记录实验结果并拍照上传平板设备，思考：是否存在直角梯形，为什么？

设计意图 设计以上问题链，学生经历观察、探究、交流、试验、归纳、猜想、证明等过程，让学生在实验中，观察归纳截面的图形特征，分享展示证明方法，体验转化与化归数学思想.

4. 构建数学

【问题11】观察正方体的棱与截面的交点，分析交点的位置与截面形状的联系.指出正方体截面有三角形、正方形、矩形、梯形、五边形、六边形等六种情况. 如图9所示.

【任务6】回顾一下，我们是以怎样的流程和步骤来探究正方体的三角形截面的？

设计意图 学生经历“事实—发现—猜想—论证”过程，分类找出所有可能的截面，积累从直观到抽象的探究活动体验，增强正方体模型意识. 理解聚焦棱与截面交点的位置是确定正方体的截面形状的关键，培养学生主动探究的科学精神和严肃认真的学习态度.

5. 学以致用

【问题12】正方体的所有截面中哪个截面面积最大？

设计意图 设计探究性和开放性问题，激发学生的探究兴趣，有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力.在具体情境中，引导学生体验知识探究过程，领悟数学学习方法，感受获得成功的愉悦.

6. 课堂总结

【问题13】请梳理与本节课相关联的必备知识.

【追问10】请梳理数学探究的一般过程，说一说本节课涉及的数学思想方法.

【追问11】谈一谈本节课涉及的数学核心素养.

7. 课后作业单

若正方体ABCD-ABCD的棱长为1，P是棱BC的中点，Q为棱CC上的动点，当点Q与点C重合时，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的图形为_____，其面积为_____.