GeoGebra助力直观想象核心素养提升的应用探讨

肖阳芳 邵贵明 徐金润 谭禄 熊建军

[摘  要] 随着科学技术的迅猛发展，全面发展的人才已成为社会发展的宝贵资源. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养，其中的直观想象素养是数学核心素养的基础，而提升学生的直观想象素养是传统教学的难点、痛点. 文章以外接球的切瓜模型为支撑点，适时、适当、适切地引用GeoGebra软件辅助教学，使学生通过视觉方法与几何方法的交互作用，理解几何知识的本质，提高数形结合能力，帮助学生扩展思维阈限，把提升学生的直观想象素养落于实处.

[关键词] GeoGebra;直观想象素养;切瓜模型

问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称课程标准）指出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]. 目前提升学生核心素养的研究理论层面偏多，缺乏深层次与实践互通，特别是融合我国传统的教育方式提升直观想象素养的研究有待深入. 例如，对于复杂的立体几何问题，学生难以理清图形结构与各要素的数量关系. 这类问题往往会成为一线教学中提升学生直观想象素养的绊脚石. 范希尔曾说过，假如能呈现对直观的洞察，应有助于学习抽象的数学概念[2]. 若将信息技术与数学教学有效结合，为学生提供探索实验的环境，为学生理解数学问题的本质提供背景铺垫，为学生加深对几何图形及其交流的理解创造环境、提供工具，从而培养学生几何直观、空间感以及几何作图方法等数学能力，切实提升学生的核心素养. 在科技迅猛发展的今天，如何具体适时、适切、适度地使用信息技术，优化课堂教学？如何在教学实践中提升核心素养？这都是值得大家深入思考的问题.

理论依据

1. 直观想象素养的重要性、提升难度及原因

数学在形成个人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用，数学素养是现代社会每一个人应当具备的基本素养. 其中直观想象素养作为数学核心素养的要素之一，是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础，在培养人的全面发展中具有重要的作用.直观想象素养旨在借助几何直观和空间想象让学生从空间位置关系和数量关系中领悟形态变化与运动规律，主动从数与形的逻辑关系中建立新的数学结构模型，理解并掌握事物的本质从而解决问题. 至此，在中小学阶段结合数学教学培养提升学生直观想象素养尤其重要，以数学课程内容为“脚手架”培养学生直观想象素养的教学策略和路径亟待探究和解决. 课程标准对教学提出的建议是，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程[1]. 而在一线教学中，教师通常采用传统方式进行教学，对提升学生数学核心素养的作用不大，对提升学生几何直观和空间想象能力更是棘手.这主要是因为数学本身是较抽象的学科，且学生空间想象能力不足、作图能力有限，生活中也缺少实物或者模型使学生将几何模型印入脑海，无法较好地促使思维的具象化、可视化.

2. GeoGebra辅助教学——培养直觀想象素养的指导作用

笔者在对一线教师关于提升学生直观想象素养的访谈过程中发现，他们存在这样的疑问：一是如何引导学生建立数与形的联系，把抽象的数学问题通过特殊的图形表达出来;二是如何依托教学内容，帮助学生发展空间认知和想象能力，借助几何图形描述问题和理解问题. 其实借助信息化手段辅助教学能有效地解决部分问题，利用信息技术可以将代数与几何图形的变化联系起来，将复杂的几何图形直观呈现出来，这样的过程容易印在学生的脑海里，给学生提供空间想象的固着点，此外，信息技术还具有“可视化”动态功能，通过动态图形的呈现，使学生从不同方位观察图形以达到操作理解，践行数形结合思想，从而帮助学生提升直观想象素养. 但“可视化”需要教师精心设计、细心引导，适时、适当地让学生理解抽象晦涩的知识点. GeoGebra是亚特兰大大学数学教授设计的一款开放源代码软件，如图1所示. 能同框显示代数关系和几何图形，揭示数学各要素之间复杂动态的逻辑关系，直观地、动态地呈现图形变化，图形动态变化时代数区也跟随变化，GeoGebra能将立体几何图形可视化，更重要的是其与使用者具有高度的互动性，使用者可以通过“旋转—拖曳”功能，依自己的目标和想法操作几何对象以观察存在于其中的性质或关系. 数学教学尤其需要这种“可视化”，因为在较难理解的教学内容中需要学生发挥空间想象能力，这时借助信息化手段，将“只可意会”的内容转化为“能言传”的内容，更好地帮助学生剖析知识本质，提升数形结合能力.

3. GeoGebra辅助教学——培养直观想象素养的教学策略

GeoGebra已经为人教版教材（2019年版）编撰所采用.笔者通过CNKI检索主题“直观想象素养”，共检索出中文文献1943篇;检索主题“GeoGebra”，共检索出中文文献591篇;以“直观想象素养”和“GeoGebra”为主题，高级检索出中文文献21篇. 从文献数据可知，直观想象素养和GeoGebra都被教育领域所关注和重视，但将GeoGebra与直观想象素养结合研究的成果尚少. 有研究者通过编制高中生直观想象素养测试卷调研提出，在一线教学中，从提升学生学习兴趣、培养学生规范作图能力、重视学生知识记忆策略、恰当运用现代信息技术、强化学生制作模型意识等方面着力提升学生直观想象素养水平[3];还有研究者在高中生直观想象素养培养的研究中提出，通过加强作图训练程度、注重实物模型演示和把信息技术融入课堂教学中，能改善学生数形结合意识和空间想象能力较差的现象[4]. 郑学蓉结合函数、几何知识，认为在概念教学中可以培养数学抽象和直观想象素养、在动态问题教学中可以培养逻辑推理和直观想象素养、在探究教学中可以培养直观想象素养和逻辑推理素养，并给出了相应的教学设计[5]. 李向婷对高中生直观想象素养发展策略进行了研究，提出利用实物和信息技术加强高中生对数学概念的理解，开展直观想象素养的数学活动促进动手实践与数学表达，利用高中生直观想象素养的发展特点合理进行因材施教等策略[6]. 结合以上的文献成果，提高学生数形结合和空间想象能力是重要基石. 教学是以课程内容为载体，教给学生数学思想方法和思维能力，引导学生领悟数学知识本质的一种复杂活动，借助GeoGebra辅助教学的策略为：提供探索实验的环境，渗透猜想与验证思想，展示几何元素的生成过程，引导学生领悟知识本质，提升数形结合能力[7].

教学过程展示

多面体外接球问题是提升学生空间想象能力的恰当素材，因为球与多面体的切接是空间中一种特殊的位置关系，解答时需要想出或画出图形，以直观方式来分析、思考，而部分学生因缺乏几何直观能力、空间想象能力，问题变得抽象难懂，传统教学通常以答题模板或秒杀公式来引导学生解题，学生知其然不知其所以然，所以它是一块合适的“试金石”，能全方位、多角度、深层次地考查学生的几何直观能力、空间想象能力. 下面以外接球的切瓜模型为载体，借助GeoGebra展示空间几何体的生成过程，渗透转化与化归、空间问题平面化、数形结合等思想方法，提升学生的几何直观能力、空间想象能力.

切瓜模型是指一侧面垂直底面的棱锥形，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形. 如两面都是直角三角形;一面是直角三角形，一面是等边三角形;两面都是等边三角形;两面都是一般三角形. 虽然新教材删除了有关外接球的内容，但是每年高考依然会出现外接球相关考题，故本文以切瓜模型经典例题为“脚手架”展示培养学生直观想象素养的教学策略.

1. 问题情境，理解本质

题目：已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60°，∠C=90°，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示，则四面体ABCD外接球的体积为多少？

根据球的体积公式V=πR3知道，若知球的半径即知球的体积，而要知球的半径先要找出球心，根据“球心是过两截面圆的圆心作垂直于各截面圆的垂线的交点”这一定义，确定截面找出各外接圆圆心，并作垂线取交点得球心. 华罗庚曾说过，数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休. 先在GeoGebra中画出立体图形，在指令栏输入“外接圆（B，C，D）、外接圆（A，B，D）”，再选择“中点/中心”工具，得出两个截面圆及圆心，如图3所示. 用GeoGebra以直观形式展示图形，让学生感受几何关系的形成过程，给未来培养学生的空间想象能力提供一个范式. 因为△BCD是直角三角形，所以△BCD的外接圆圆心即斜边BD的中点;因为△ABD是等边三角形，所以△ABD的外接圆圆心是△ABD的重心. 确定截面圆及圆心后，在GeoGebra中运用垂线工具作出截面圆的垂线，垂线的交点即球心O，连接点O与点D，OD即球的半径. 在Geogebra中输入命令“球面（O，D）”构建外接球，如图4所示. 这时通过GeoGebra的“拖曳”功能，旋转视图观察球心O的位置关系，可知球心O是△ABD的重心，再通过三角形重心的性质求出球的半径.

在教学中，学生可以依据自己的想法和疑问操作几何对象，观察其中的性质或关系以达到对外接球位置关系的本质理解. 也可以运用GeoGebra的“缩放”功能，只改变图形大小，不改变图形数量关系，将这个例题的解题思路抽象为一面是直角三角形、一面是等边三角形的通性通法. 让学生用软件看立体图、画图或构图，运用软件的旋转视角感受复杂几何体的动态生成过程，同时将立体问题平面化，借助图形直观认识数学问题、表达数学問题，启迪解决此类问题的思路，提高学生的几何直观能力和空间想象能力.

2. 问题变式，思维升华

变式：在三棱锥D-ABC中，△ABC与△ABD都是边长为4的正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，则该三棱锥外接球的表面积为多少？

先分析题目信息，根据球的表面积公式S=4πR2知道，需要找到球心来确定球半径，由于教学中对这类立体图形较难直观呈现在黑板上，而且部分学生的几何直观能力和空间感欠佳，所以借助Geogebra辅助教学画出立体图形，能为学生探索几何结构创造环境.

根据“球心是过两截面圆的圆心作垂直于各截面圆的垂线的交点”这一定义，在Geogebra中点击“外接圆”后依次选点A、点B、点C得到△ABC的外接圆，重复这些操作，得到△ABD的外接圆;在Geogebra中选择“中点/中心”工具，得到两个圆心点E、点F，如图5所示. 运用垂线工具分别作出垂直于各截面圆的垂线，垂线的交点为球心O，如图6所示，连接线段OC即外接球的半径.

在研究这个问题的过程中，把数和形结合起来进行考察，斟酌问题的具体情形，先把数量关系的问题转化为图形关系的问题，再利用图形性质解决代数问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案，最后结合题目已知条件和直角三角形的性质求出半径.

结束语

几何图形是一种经过抽象和形式化处理的数学概念，直观想象是理解几何图形的基础. 通过信息技术改进几何教学，加深对几何图形及交流的理解，为学生学习几何概念和结构创造环境、提供工具.当多面体外接球问题结合GeoGebra，可将其直观化、规律化，降低求解难度，达到“看得见，看得清，理解快”的效果. 在合适的情境与教师的引导下，学生可以通过视觉方法与几何方法的交互作用，识得几何元素的位置关系、形态变化与运动规律，习得较为完整的几何知识，再根据完整的知识以一敌百解决更多的问题. 但本文提出的样例呈现的是静态过程，在具体教学中，信息技术不能影响教学目的，只能作为一种辅助教学工具，要使教学有意义，需要学生具备一定的几何知识，否则会损害学生的几何思维.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3] 王萌萌. 高中生数学直观想象素养现状及培养研究[D].河南大学，2020.

[4] 朱艳宇. 高中生数学直观想象素养的培养策略研究[D].延边大学，2020.

[5] 郑学蓉. 使用GeoGebra培养中学生数学核心素养的实践探索[D]. 上海师范大学，2020.

[6] 李向婷. 高中生数学直观想象素养发展研究[D]. 西南大学，2021.

[7] 邵贵明，胡典顺，柳福祥. 论数学核心素养在高中数学课堂落地生根——以人教版高中“对数”教学为例[J]. 数学教育学报，2020，29（06）：46-50.