力学动态平衡问题归类剖析

王金涛

动态平衡指的是因为某种物理量的改变，物体所处的状态缓慢变化，而在这个缓慢变化的过程中，物体一直处于平衡状态。当物体处于动态平衡状态时，所受的外力会发生变化，但是所受合外力会一直等于零。因此解决这类问题最重要的是在变化中寻找到不变，利用不变的量确定变量的变化规律。下面归纳总结了求解力学动态平衡问题的几种常见方法，供同学们参考。

一、动态图解法

原理：对物体在状态变化过程中的多种平衡状态进行受力分析，以某一参量的变化为基础，在同一图中作出物体在多种平衡状态下的受力示意图（力的平行四边形），根据动态的力的平行四边形各边长度和角度的变化，确定力的大小及方向的变化情况。

适用条件：物体受到三个共点力作用处于动态平衡状态，其中一个力是大小和方向均不变的恒力;另外一个力的方向不变，大小变化;第三个力的大小和方向都变化。

例1 如图1 所示，用细绳系住小球放在倾角为θ 的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，小球对细绳的拉力T和对斜面的压力N 的变化情况是（ ）。

A.T 逐渐增大，N 逐渐减小

B.T 逐渐减小，N 逐渐增大

C.T 先增大后减小，N 逐渐减小

D.T 先减小后增大，N 逐渐减小

解析：对小球进行受力分析，小球受到重力mg（大小和方向均不变的恒力）、斜面的支持力N'（方向不变，大小变化）和细绳的拉力T'三个力的作用。在同一个图中作出细绳由水平方向逐渐向上偏移的过程中多个平衡状态下小球的受力示意图，如图2所示。根据图像可知，随着细绳由水平方向向上偏移，细绳的拉力T'先减小后增大，斜面的支持力N'逐渐减小。根据牛顿第三定律可知，小球对细绳的拉力T 先减小后增大，小球对斜面的压力N 逐渐减小。

答案：D

二、正交分解法

原理：当物体处于动态平衡状态时，先对物体进行正确的受力分析，再建立平面直角坐标系，将不在坐标轴上的力正交分解，以具体情况为依据，引入参数，构建平衡方程，得出因变参数与自变参数之间的一般函数关系，然后以自变量的变化为依据确定因变量的变化，进而判断力的大小变化规律。

例2 如图3 所示，物体静止在斜面上，斜面对物体的支持力为N ，物体受到的摩擦力为f，则当斜面倾角θ 变小时，下列说法中正确的是（ ）

A.N 变小，f 变小

B.N 变小，f 变大

C.N 变大，f 变小

D.N 变大，f 变大

解析：对物体进行受力分析，物体受到重力G、斜面的支持力N 和摩擦力f 三个力作用。以沿斜面向上为x 轴正方向，以垂直于斜面向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系，将重力G 正交分解，如图4 所示。根据平衡条件可得，在x 轴方向上有f=Gsin θ，在y 轴方向上有N =Gcos θ。当斜面倾角θ变小时，sin θ 变小，cos θ 变大，f 变小，N 变大。

答案：C

原理：当物体受到三个共点力作用而处于动态平衡状态时，先对物体进行正确的受力分析，并画出受力示意图，再在图中寻找与力的矢量三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，构建出比例关系，把力的大小变化问题转换成几何三角形邊长的大小变化问题，展开讨论。

例3 如图5所示，光滑半球固定在水平地面上，球心O 的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A 点，细绳另一端绕过定滑轮用手拉住。现缓慢拉绳使小球从A 点滑到半球面的顶点，在此过程中，小球对半球的压力N 及细绳的拉力F 的变化情况是（ ）。

A.N 变大，F 变大

B.N 变小，F 变大

C.N 不变，F 变小

D.N 变大，F 变小

解析：对小球进行受力分析，小球受到重力G、半球面的支持力N 和细绳的拉力F 三个力作用。作出小球受力的矢量三角形，并连接球心O 和A 点，构建几何三角形OAB，如图6所示。根据由G、N、F 构成的矢量三角形与几何三角形OAB 相似得F／AB =G／OB= N／OA，在小球从A 点滑到半球面顶点的过程中，OA 不变，OB 不变，AB 减小，G 不变，则N不变，F 变小。

答案：C

四、矢量圆法

原理：当物体受到三个共点力作用而处于动态平衡状态时，如果其中一个力是大小和方向均不变的恒力，另外两个力的夹角保持不变，那么可以先作出力的矢量三角形，再作出该矢量三角形的外接圆，观察随着研究对象的缓慢移动，矢量三角形的顶点在圆周上的移动情况，从而分析判断力的变化情况。

适用条件：物体受到三个力作用处于动态平衡状态，其中一个力是大小和方向均不变的恒力，另外两个力的大小和方向均变化，但二者的夹角保持不变。

例4 如图7所示，置于水平地面上的竖直圆形金属环内用三根细绳OA、OB、OC悬挂一质量为m 的物体，物体可视为质点。初始状态下，细绳OB 沿水平方向，∠AOB=120°。设细绳OA、OB 的张力大小为F1、F2，现将金属圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向转过90°，在此过程中（ ）。

A.F1 一直增大

B.F2 一直增大

C.F1 先增大后减小

D.F2 先增大后减小

解析：选结点O 为研究对象，对它进行受力分析，结点O 受到细绳OA、OB、OC 的拉力作用，其中细绳OA、OB 的拉力的夹角保持不变，细绳OC 的拉力等于物体的重力mg。作出结点O受力的矢量三角形，并作矢量三角形的外接圆，如图8所示。观察图像可知，将金属圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向转过90°的过程中，θ=180°-∠AOB=60°保持不变，细绳OC 的拉力（mg）的大小和方向均不变，F1 一直减小，F2 先增大后减小。

答案：D

五、整体法和隔离法

原理：整体法是将物理问题中的两个或两个以上物体视为一个整体进行分析和研究的方法，隔离法是将单个物体与整体分开进行分析和研究的方法。当分析由两个或两个以上物体构成的系统的动态平衡问题时，经常需要将整体法和隔离法结合运用。

例5 如图9所示，横截面为四分之一圆、质量为M的柱体B 放在粗糙水平地面上，一竖直固定的挡板与柱体B 最左侧相切，质量为m 的小球a 恰能静止在挡板和柱体之间。现拿走小球a，将质量也为m 、但密度比小球a 小的小球b 贴着挡板轻轻放到挡板与柱体B 之间。小球与挡板、小球与柱体B 之间的摩擦忽略不计。下列说法中正确的是（ ）。

A.小球b 对挡板的压力大于小球a 对挡板的压力

B.小球b 对柱体B 的压力大于小球a对柱体B 的压力

C.地面对柱体B 的支持力不变

D.柱体B 受到地面的摩擦力不变

解析：以小球a 为研究对象，其受力分析示意图如图10甲所示。根据平衡条件可知，挡板与柱体B 对小球a 作用力F1、F2 的合力与小球a 的重力大小相等、方向相反。小球b 与小球a 相比，质量不变、体积增大，则柱体B 的横截面圆心和小球b 球心的连线与竖直方向间的夹角减小（图10甲中的F2 绕力的作用点沿顺时针方向旋转），根据力的平行四边形定则和牛顿第三定律可知，小球b对挡板的压力小于小球a 对挡板的压力，小球b 对柱体B 的压力小于小球a 对柱体B的压力，选项A、B错误。

以由小球a 和柱体B 组成的整体为研究对象，其受力分析示意图如图10乙所示。根据平衡条件可知，在水平方向上有f=F1，在竖直方向上有N =（M +m ）g。将小球a换作小球b 之后，因为F1 减小，所以柱体B所受地面的摩擦力f 减小，选项D 错误;因为两小球的质量相等，所以地面对柱体B 的支持力N 不变，选项C正确。

答案：C

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1.如图11所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对小球的压力大小为N1，小球对木板的压力大小为N2。以木板与墙面连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计一切摩擦，在此过程中（ ）。

A.N1 一直减小，N2 一直增大

B.N1 一直减小，N2 一直减小

C.N1 先增大后减小，N2 一直减小

D.N1 先增大后减小，N2 先减小后增大

2.如图12所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，下列判断正确的是（ ）。

A.网绳的拉力变小

B.网绳的拉力不变

C.墙壁对足球的支持力变大

D.墙壁对足球的支持力不变

3.如图13所示，竖直平面内有轻绳1、2、3拴接在O 点。轻绳1 水平，轻绳2与水平方向成60°角，轻绳3的下端连接一质量为m的导体棒a，在结点O 正下方2d 距离处固定一导体棒b，两导体棒均垂直于竖直平面放置。现将导体棒a 中通入向里的电流I0，将导体棒b 中通入向外且缓慢增大的电流I。当电流I 增大到某个值时，给导体棒a 以向右的轻微扰动，可观察到它缓慢上升到轻绳1所在的水平线上。已知轻绳3的长度为d，两导体棒的长度均为l，重力加速度为g，导体棒b 以外距离为x 处的磁感应强度B=kI／x 。下列说法中正确的是（ ）。

4.如图14 所示，AB、BC 两块木板构成夹角为60°的“V”形角架，其间放置一质量为m 的圆球，整体竖直放置在水平桌面上，绕B点为转轴缓慢沿顺时针方向转动角架，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）

A.木板AB 受到的彈力逐渐减小

B.木板AB 受到的弹力先减小后增大

C.木板BC 受到的弹力逐渐增大

D.两块木板受到的最大弹力均为2根号下3／3 mg

5.如图15 所示，光滑竖直墙壁与光滑水平地面交于B 点，质量为M 的光滑半圆柱体，紧靠竖直墙壁置于水平地面上，O 为半圆柱体横截面的圆心。质量为m 且可视为质点的小球，用长度为L 的细线悬挂于竖直墙壁上的A 点，小球静置于半圆柱体上。当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙壁间的夹角θ 就会跟着发生改变。已知A、B 两点间的距离也为L，重力加速度为g，不计各接触面间的摩擦。下列说法中正确的是（ ）。

A.当θ=60°时，细线对小球的拉力大小为1／2mg

B.当θ=60°时，半圆柱体对小球的支持力大小为根号下3mg

C.在θ 逐渐减小的过程中，半圆柱体受到水平地面的弹力始终保持不变

D.在θ 逐渐减小的过程中，半圆柱体受到竖直墙壁的弹力始终保持不变

参考答案：1.B 2.C 3.B 4.D 5.A

（责任编辑 张 巧）