牛顿三大定律的应用

蒋纬

牛顿三大运动定律是由英国科学家牛顿提出的三条动力学基本定律，其中牛顿第一定律所描述的状态是一种理想状态，它是利用逻辑思维进行分析的产物，不能用实验直接进行验证;牛顿第二定律是根据大量的实验和观察到的事实总结出来的一般性规律;牛顿第三定律是经过观察和经验发现，并通过实验测量验证的定量关系。下面归纳总结应用牛顿三大运动定律求解相关问题需要注意的事项，以期能够帮助同学们加深对牛顿三大运动定律的认识与理解。

一、牛顿第一定律和惯性

牛顿第一定律的内容是一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。物体保持匀速直线运动状态或静止状态的性质叫惯性，惯性是物体的固有属性。

例1 水平仪的主要测量装置是一个内部封有液体的玻璃管，液体中有一气泡，水平静止时，气泡位于玻璃管中央，如图1 所示。一辆在水平轨道上行驶的火车车厢内水平放置两个水平仪，一个沿车头方向，一个垂直于车头方向。某时刻，两个水平仪中气泡的位置如图2所示，则下列关于此时火车运动情况的说法中可能正确的是（ ）。

A.加速行驶，且向左转弯

B.加速行驶，且向右转弯

C.减速行驶，且向左转弯

D.减速行驶，且向右转弯

解析：当火车水平静止或做匀速直线运动时，气泡位于玻璃管中央。由图2可以看出，沿车头方向放置的水平仪中的气泡向车头方向移动，当火车加速行驶时，气泡和液体由于惯性不会随火车立即加速，还会以原来的速度运动，即相对火车向后运动，因为气泡密度小于液体密度，所以气泡在液体作用下就会相对玻璃管中心位置向前运动。垂直于车头方向放置的水平仪中的气泡偏向右侧，当火车向右转弯时，气泡和液体由于惯性不会随火车立即右转，还会沿直线运动，即相对火车向左运动，因为气泡密度小于液体密度，所以气泡在液体作用下就会相对玻璃管中心位置向右运动。综上，此时火车应是加速运动，且向右转弯。

答案：B

点睛：牛顿第一定律揭示了物体的惯性，即不受力的作用时，一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态;牛顿第一定律揭示了力的作用对运动的影响，即力是改变物体运动状态的原因。惯性的量度：质量是物体惯性大小的唯一量度，质量越大，惯性越大，物体的惯性与物体的速度和受力情况等均无关。

练习1：以速度v 匀速行驶的列车车厢内有一水平桌面，桌面上的A 处有一小球。若车厢中的旅客突然发现小球沿图3（俯视图）中的虚线从A 点运动到B 点，则由此可以判断列车的运行情况是（ ）。

A.减速行驶，向北转弯

B.加速行驶，向南转弯

C.減速行驶，向南转弯

D.加速行驶，向北转弯

答案：C 提示：小球与水平桌面间的摩擦力可以忽略不计，可以认为小球在水平方向上不受力的作用。当列车和桌子的速度慢下来时，小球要保持原来的速度继续运动，所以会相对桌面向前运动。当列车和桌子向南转弯时，小球要保持沿直线运动状态，所以会相对桌面向北运动。

二、牛顿第二定律

牛顿第二定律的内容是物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。牛顿第二定律的表达式为F =kma，其中F是物体受到的合外力，k 是比例系数，k 的数值取决于m 、a、F 的单位的选取。当m 的单位取kg，a 的单位取m/s2，F 的单位取N 时，k=1，则牛顿第二定律可以表述为F=ma。

例2 如图4所示，质量相等的A、B两小球分别用轻质细绳L1 和轻质弹簧悬挂在天花板上，A、B 两小球之间用一轻质细绳L2 连接，细绳L1、弹簧与竖直方向间的夹角均为θ，细绳L2 水平拉直。现将细绳L2 剪断，则剪断细绳L2 瞬间，下列说法中正确的是（ ）。

A.细绳L1 的拉力与弹簧弹力之比为1∶1

B.细绳L1 的拉力与弹簧弹力之比为cos2θ∶1

C.A、B 两小球的加速度大小之比为1∶sin θ

D.A、B 两小球的加速度大小之比为cos θ∶1

解析：A、B 两小球的质量相等，均设为m ，剪断细绳L2 瞬间，对小球A 进行受力分析，如图5甲所示，细绳L1 的拉力发生突变，沿细绳L1 方向和垂直于细绳L1 方向进行力图5的分解得T =mgcos θ，ma1=mgsin θ。剪断细绳L2 瞬间，对小球B 进行受力分析，如图5乙所示，弹簧的弹力不发生突变，则Fcos θ = mg，ma2 =mgtan θ。因此T ∶F =mgcos θ∶ mg／cos θ=cos2θ∶1，a1∶a2=gsin θ∶gtan θ=cos θ∶1。

答案：BD

点睛：轻绳、轻杆和硬接触面等物体可以认为是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断（脱离）后，其弹力立即改变或消失，形变恢复不需要时间。当弹簧、橡皮绳的两端与物体相连时，弹簧、橡皮绳发生明显形变而产生弹力，剪断（脱离）后，其形变量不会瞬间发生突变，其弹力不会发生突变。

练习2：我国高铁技术处于世界领先水平。和谐号动车组是由动车和拖车编组而成的，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行时阻力与车重成正比。某列车由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则下列判断中正确的是（ ）。

A.该动车组启动时乘客受到车厢作用力的方向与列车运动的方向相反

B.该动车组做匀加速直线运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2

C.该动车组进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比

D.该动车组与改为4节动车带4节拖车的动车组的最大速度之比为1∶2

答案：BD 提示：該动车组启动时乘客的加速度的方向与车厢运动的方向是相同的，所以乘客受到车厢作用力的方向与列车运动的方向相同，选项A 错误。设每一节车厢的质量为m ，受到的阻力为kmg，该动车组做匀加速直线运动时，对由第6、7、8节车厢组成的整体进行受力分析得F1-3kmg=3ma，对由第7、8节车厢组成的整体进行受力分析得F2 -2kmg=2ma，联立解得F1／F2 =3／2，选项B正确。设该动车组进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离为s，则v2 =2as，又有8kmg=8ma，解得s= v2／2kg，因此该动车组进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度的平方成正比，选项C 错误。设每节动车的功率为P，当只有两节动车时，列车的最大速度为v，则2P=8kmgv，改为4节动车带4节拖车的动车组时，设其最大速度为v'，则4P=8kmgv'，解得v／v'=1／2，选项D正确。

三、牛顿第三定律

牛顿第三定律的内容是两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。作用力和反作用力以对方存在为自己存在的前提，二者同时产生、同时消失、同时变化。

例3 如图6所示，一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M ，环的质量为m 。已知环沿杆匀加速下滑时，环与杆之间的摩擦力大小为f，重力加速度为g，则此时箱子对地面的压力大小为（ ）。

A.Mg+f B.Mg-f

C.Mg+mg D.Mg-mg

解析：环在竖直方向上受重力及箱子内的杆对它的竖直向上的摩擦力f，受力情况如图7 甲所示，根据牛顿第三定律可知，环应给杆一个竖直向下的摩擦力f'，且f'=f，故箱子（包含杆）在竖直方向上受重力Mg、地面对它的支持力N 及环给它的摩擦力f'，受力情况如图7乙所示，箱子（包含杆）处于平衡状态，则N =f'+Mg =f +Mg。根据牛顿第三定律可知，箱子对地面的压力大小等于地面对箱子的支持力大小，即N'=N =Mg+f。

答案：A

点睛：作用力与反作用力的特点有三个，（1）三同，即同大小、同变化、同性质;（2）三异，即方向不同、受力物体（施力物体）不同、产生的效果不同;（3）二无关，即与相互作用的物体的运动状态无关、与是否和其他物体相互作用无关。

练习3：唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力。设牛用大小相等的拉力F 通过耕索分别拉两种犁，拉力F 与竖直方向间的夹角分别为α 和β，α<β，如图8所示。忽略耕索质量，在耕地过程中，下列说法正确的是（ ）

A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大

B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大

C.曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力

D.直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力

答案：B 提示：将拉力F 沿水平方向和竖直方向正交分解，则在水平方向上有Fx曲=Fsin α，Fx直=Fsin β，在竖直方向上有Fy曲=Fcos α，Fy直=Fcos β，又有α<β，则sin αcos β，因此Fx曲Fy直，选项A 错误，B 正确。耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对相互作用力，它们的大小始终相等，方向相反，选项C、D错误。

四、牛顿运动定律的综合应用

例4 在风洞实验室里，一根足够长的均匀细直杆与水平面成θ=37°角固定放置，质量m =1 kg的小球穿在细杆上静止于细杆底端O，如图9甲所示。开启送风装置，有水平向右的恒定风力F 作用于小球，在t1=2 s时刻风停止。小球沿细杆运动的部分v-t 图像如图9 乙所示，取重力加速度g =10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，忽略浮力。求：