人教版、北师大版、苏教版教材中分数除法学习路径的比较研究

董美荣

［摘 要］“分数除法”是小学计算教学的重点和难点。研究人教版、北师大版、苏教版教材，发现这三个版本的教材均是按照“分数除以整数— 一个数除以分数”的顺序来安排学习任务的，在例题的选择上则都注重与生活实际相联系，借助数形结合，探究并理解算理；运用类比迁移，渐进式掌握算法。对人教版、苏教版和北师大版这三个版本教材中“分数除法”内容的编排进行横向对比分析，总结出有利于学生理解分数除法计算法则的学习路径。

［关键词］教材；学习路径；分数除法；算理；算法

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）08-0038-03

在学习“分数除法”之前，学生已经学习了分数的加减混合运算和分数乘法，后续学生还要学习分数四则混合运算，这部分内容在教学中起着举足轻重的作用。教材是教与学的重要载体，對教学起着重要的指导作用，不同的教材在编写上存在一定的差异。基于此，笔者将针对具体的教学内容，对人教版、北师大版、苏教版教材中的“分数除法”内容进行分析，为学生的学习路径提供一些可行的建议。

一、教材例题的编排思路分析

在分数除法运算中，不管哪种情况的计算最终都可以归结为用被除数乘除数的倒数。理解分数计算的算理，是本部分教学内容的重点和难点。三个版本的教材在安排这部分内容时，都遵循由易到难、循序渐进的原则，先教学“分数除以整数”，再教学“一个数除以分数”。在教学“一个数除以分数”时，都是先教学“整数除以分数”，再教学“分数除以分数”。

1.“分数除以整数”的编排思路

在课程导入上，从三个版本的教材中可以看出，人教版和北师大版教材都是以折纸活动为载体引入教学内容，苏教版教材则结合分果汁的问题情境，提出一个分数除以整数的实际问题。在设计思路上，三个版本的教材都是创设一个学生熟悉的问题情境，利用“平均分”的思维来解决问题。在算理推导上，三个版本的教材都是采用数形结合的思想方法来讲解。在学习层次上，三个版本的教材都是结合操作活动、面积模型及分数意义的理解，分两个层次探究分数除以整数的计算方法：从被除数的分子能被除数整除，到分子不能被除数整除，从特殊到一般的推进，让学生逐步认识分数除以整数的算理。在学习目的上，三个版本的教材都注重让学生自主探究发现计算方法，不过，苏教版和北师大版教材最后都给出了计算法则，而人教版教材没有直接给出结论，需要学生自己总结，更考验学生的概括归纳能力。

2.“一个数除以分数”的编排思路

在“分数除以整数”的内容中，三个版本的教材都是通过一道例题来完成教学内容的（如图1、图2、图3）。而在“一个数除以分数”的内容中，三个版本的教材则有些许差异：人教版教材是从行程问题引入，学生可以根据数量关系式（速度=路程÷时间）列出算式，算式易列，但算理难懂；北师大版教材在此设计了三道题，前两题是借助分饼活动和长方形面积模型帮助学生理解算理，第三题是反思分数除法计算时需要关注的点，并总结算法；苏教版教材通过三道例题的教学，创设问题情境，借助直观图和示意图，引导学生猜想验证，掌握算法。与人教版教材相比，北师大版和苏教版教材的内容更细致，学生接受起来更容易。

二、教材内容对学生学习路径的指引分析

“分数除法”计算方法的探索与理解历来是教学的一个难点。三个版本的教材在教学内容的编排上有相似之处，也有些许差异。下面就从各版本教材内容对学生学习路径的指引方面进行分析。

1.教材内容对学生学习路径指引的共同点

（1）沟通已有经验，注重与生活实际相联系

三个版本的教材编排“分数除法”例题的路径一致，都是以“分数除以整数”为认知起点，围绕分数除法的意义展开。它们都是从学生熟悉的日常生活情境（折纸和分果汁）入手。在熟悉的“平均分”情境中，学生能将整数除法的意义应用到分数除法中，从而感受到数学知识的连贯性和系统性，同时体会到数学知识在日常生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣。

（2）数形表征结合，探究并理解算理

三个版本的教材都根据学生的思维特点，采用手脑并用、数形结合的策略，以此突破这部分内容的教学难点。三个版本的教材借助实物图、直条图、圆形图、线段图等直观素材，让学生折一折、分一分、画一画，从整体上感知，从而理解算理、探究算法。同时通过直观素材把分数除法的计算过程与动手操作联系起来，帮助学生发现分数除法与乘法算式之间的联系，使学生对分数除法的算理不仅“知其然”，更“知其所以然”。

（3）运用类比迁移，渐进式掌握算法

三个版本的教材都是先教学“分数除以整数”，再教学“一个数除以分数”。这两种除法的运算方法相同，都是用被除数乘除数的倒数。三个版本的教材都是先通过直观操作，让学生从“等分除”的角度体会到一个数除以几，就是求一个数的几分之一是多少，可以转化成乘法来算；然后借助直观图形让学生进一步体会一个数除以几分之几与乘它的倒数之间的关系；最后在教学“分数除以分数”时，引导学生迁移算法，感悟分数除法与整数除法、小数除法算理的相同之处。在此基础上，还引导学生抽象概括出分数除法的一般计算方法。

2.教材内容对学生学习路径指引的不同点

三个版本教材的内容对学生学习路径的指引有着异曲同工之妙，那“异”在哪呢？

三个版本的教材在处理“分数除以整数”这部分内容时对学生学习路径的指引基本一致。区别主要在“一个数除以分数”的内容上，北师大版和苏教版教材都是从问题情境入手，通过“等分除”和“包含除”两种计算模型引导学生学习。而且它们在这部分内容的教学上分得很细致，均用了3～4道例题来讲解，从整数除以分数到分数除以分数，层层递进，并且借助了直观图，学生接受起来比较容易。

人教版教材在“一个数除以分数”部分仅用1道例题来引导学生推算出算理，虽然也是从学生熟悉的生活情境（行程问题）入手，但在解决问题时运用的是混合模型，“包含除”的模型不是很清晰，这给学生直观表征算理带来麻烦。而且这道例题的计算结果都是整数（2÷[23]=3、[56÷512]=2），不具有一般性。加之用分数表示时间和路程，学生在理解算理上更加困难。

三、“分数除法”学习路径的建议

“分数除法”是高年级计算教学的一个重点和难点，虽然三个版本的教材都给出了丰富的教学情境，但学生在学习过程中的表现还是不尽如人意，特别是在算理的理解上，存在刻意模仿、浮于表面的现象。对此，优化学习路径十分必要。

1.挖掘例题内涵，层层深入理解

三个版本的教材在例题的选择上，都是与学生的生活实际和认知水平紧密联系起来的，同时也关注到学生的兴趣、认知经验。教师在教学的过程中不能把例题割裂开来教学，而要看到例题前后之间的递进关系，诱发学生深度思考。人教版教材在教学“一个数除以分数”时，只给出一道例题，学生无法深刻理解分数除法的算理，教师在此更需要自己完善相关例题，做好铺垫与拓展，以便学生更好地理解各算法之间的联系。

2.多元表征结合，理解运算法则

数学的计算学习，不仅要会运用计算法则，还要通过不同的方式、方法对同一问题进行探讨和研究。三个版本的教材设置了动手折纸、分橘子、画直条图等操作，其目的都是让学生运用不同的表征方式去探究计算过程，理解算理。教师在实际教学过程中要根据学生的认知水平，有意识地将这几种表征方式结合起来，特别是要让学生从图形的直观表征过渡到语言表征及符号表征上，感受数形结合思想带来的便利，真正理解分数除法与分数乘法的转化关系。

3.抽象概括算理，建构逻辑体系

从直观到抽象，是学生成长的重要途径，也是数学教学的重要目标之一。数学课程标准指出，要培养学生的数学核心素养，学生能够运用符号运算分析解决实际问题，能够通过计算思维将各种信息简约和形式化，进行问题求解与系统设计。在直观探究算理之后，教师可以从“分数的意义”“分数除法的意义”“乘除法的运算性质”“商不变规律”四个维度去概括算理，让学生对数的运算有更完善的形式化和结构化的理解，最终明白，计算知识的学习不仅在于熟练运用计算法则，还在于对知识体系的融会贯通。

总之，不管是教学哪个版本的教材，对于分数除法的教学，都要让学生掌握算法，主动探究算理，深刻理解计算法则。教师要充分利用已有的知识经验，多维度、全方面地发展学生的数学思维，培养学生的探究能力和创新精神。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 巩子坤，靳培英，李硕鑫，等.“中国”“新加坡”“英国”教材中分数除法学习路径的比较研究[J].数学教育学报，2021，30（1）：79-84，96.

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[6] 杨彩如. 基于多元表征理论的小学分数除法计算教学研究[D].广州：广州大学，2019.

（责编 吴美玲）