目标整体关联：结构化学习学理分析策略

毛文波

［摘  要］ 小学数学结构化学习学理分析旨在融通知识、认知、能力和素养结构，实现学习目标的整体关联。文章以“千以内数的认识”为例，探讨开展目标整体关联的结构化学习学理分析的策略：连续熟悉情境的知识结构分析，达到迁移预备目标; 关联活动操作的表征结构分析，经历概念形成过程目标; 循环生活应用的思维结构分析，落实核心素养目标。

［关键词］ 小学数学结构化学习；学理分析；学习目标；目标整体关联

小学数学结构化学习的学理分析是指“通过对数学知识结构与学生的认知结构深度分析，融通共生，让学生经历数学认知的完整过程，建构数学知识的完整样态，实现知识技能、过程方法、情感态度、思想价值等多层面数学素养的全面发展”［１］，它是解决碎片化教学、僵化传递教材知识的有效路径。通过学理分析，教师可以深刻整体把握学习目标，实现关联知识、认知、能力和素养结构的融通与落实。笔者结合“千以内数的认识”为例，谈谈结构化学习学理分析的策略。

一、连续熟悉情境的知识结构分析，达到迁移预备目标

（一）“千以内数的认识”的知识结构分析

“表示自然数的关键是十个符号和数位。”［２］对小学二年级学生来说，“数位”是十进制计数法的核心，与此相关的核心元素是计数单位、位值和十进制数位法则。位值与计数单位相联系，这是学生常常不易理解的地方。

小学阶段关于自然数的认识分为四个阶段：20以内数的认识、100以内数的认知、万以内数的认识、多位数的认识，时间跨度为四年，其中“万和千”是数的认识中最重要、最关键的概念。从“千以内数的认识”的知识结构（如图1）可以发现数数是关键方法，是“数起源于数”思想的体现，也是集合思想的体现。

（二）真实问题情境，知识、方法、思想迁移目标的落实

数是数量舍弃了各种属性的本质抽象，对于处在具体形象思维阶段的二年级学生来说，学习抽象的数更需要具体的、熟悉的生活经验来支撑。熟悉的方法、思想的顺利正迁移，能提高学生对数的理解。数人数是学生熟悉的真实问题，能激起学生的学习动机。

1. 由“乱”到“序”，体会群数的优越性

因借班上课，学生对教师有好奇感。

“想知道毛老师的班级有多少人吗？”教师出示摆有珠子的小黑板，“有多少颗珠子就有多少人，你打算怎么摆就能一眼看出人数？”

这样的提问可以使“乱”向“序”进发。学生的作品中（如图2），有一半的学生采用一十一十地数。

2. 由多到少，体会位值的意义

让学生整体感受32人后走向数的抽象教学。

“还能怎样表示32呢？珠子能不能再少一些，也能表示出32人？”

可以用3捆（10根1捆）小棒和2根来表示，可以用3个大珠子和2个小珠子来表示（1个大珠子表示10），可以用不同颜色的珠子表示。

“明明是5個珠子，怎么是32呢？”

“把它放到计数器上。”

“3个珠子在十位，2个珠子在个位。”

由物到图实现物的抽象，珠子在不同的位置就表示不同的数，能让学生体会计数单位与位值的数位意义，并使学生的思维由此进阶（图3）。

3． 由96到百，清晰十进数位法则

百是认识千的关键计数单位。

“一个班是32人，像这样的2个班有多少人？3个班呢？”

“96人，怎样拨就能数到100人？”

教师展示拨珠过程和让学生回忆十进数位法则，使学生经历由具体到抽象的过程。

二、关联活动操作的表征结构分析，经历概念形成过程目标

（一）“千以内数的认识”教材表征结构分析

比较人教版、苏教版和北师大版3本教材“千以内数的认识”的表征方式发现，各版教材都运用了多种表征方式，体现了外在表征与内在表征相结合。在“几百几十几”认识的过程中，人教版教材处理得最为丰富、最为细腻，表征方式特别多元。关于“几百几十几”的读法写法，北师大版和苏教版都没有放在第一课时。笔者在课前学情调研发现学生对三位数的读法、写法无障碍，所以人教版的安排是适当的，符合结构化学习整体建构的特征。

（二）关联活动，自主建构概念能力目标的落实

基于多元表征理论，“几百几十几”至“一千”的认识构建了以下的认知生长过程（图4），学生在丰富的表征活动中自主建构数的概念。

1．描绘性表征和描述性表征关联促进认知从具体走向抽象

“描绘性表征”是与视觉关联性较强的具体情境、实物、图形和动作的表征，“描述性表征”是语言、文字、符号、模型的表征［３］。儿童学习的过程常始于描绘性表征，比如，认识千的学程设计是这样的：数百数千，认千，找千位，表征千。学生认知过程经历了实物的动手操作、数数等描绘性表征，又经过数“十个百”是千、找计数单位千和千位、借助计数器计数模型等描述性表征，并经历了“具象—表象—抽象—图式”的发展过程。

2．真实情境中的认知迁移与数学方法思想关联促进思维从低阶走向高阶

迁移理论对情境的研究：“当一个科目在单一而非复合情境中传授时，情境间的迁移就相当困难。”［４］认识“几百几十几”的情境是数出操场上上课的人数，看似简单、熟悉，却以“乱+序”相结合的复杂的点子图情境出现（图5）。在短时间内学生不便数、又多次猜不出的情况下，可以通过“问题的表征”提高迁移能力［５］。

“你想让操场上的同学怎么站就好数了？”

“每队排整齐，每队站10人，站成100人一排”。

复杂的问题变得简单了，实现正向迁移。

学生认识“几百几十几”和认识“几十几”在认数的方法、思想本质上是一致的。从学生认知上来说，有了两位数的认知经验，就能很容易地迁移到三位、四位及以上数的学习。学生能否顺利地迁移“百以内数”的学习经验，直接决定知识结构的生长和认知结构的发展。

当将复杂的点子图转化为排得整齐的点子图后，学生处在学习最近发展区，这样就能对接已有的认知经验，即整齐地排、一列10个、一十一十地数和刚刚学会的一百一百地数。

认识冲突是点数多了，按群数时会发生变化，应该怎样数？不同的学生则体现了不同的思维水平（如图6）。根据比格斯SOLO分类理论，学习单中①号学生是“一十一十”地数，思维水平是单点结构；②号学生是“一百一百”地数（虽然一开始是5个十、5个十地数），再加43；③号学生是先“一十一十”地数，然后把“10个十”圈起来，这反映了由旧水平向新水平明显迁移的思维进阶痕迹，所以②号和③号学生思维水平是多点结构；④号学生的思维水平更简捷，只圈了3个圈，横数24个，竖数10个，简化了圈，用乘法来计算，再加3，思维水平已达到关联结构。

真实情境的问题解决，使得学生的学习空间更大，能促进学生数学知识、思想方法的迁移，使不同水平的学生都得到充分的发展和思维进阶。

三、循环生活应用的思维结构分析，落实核心素养目标

（一）“千以内数的认识”思维结构分析

“数学认知结构发展过程既是数学知识结构的建构过程，也是数学思维的递进发展生长过程。”［６］“千以内数的认识”学生思维结构主要有以下特点：直观动作思维（操作棋子、圈画点）→程序描述性思维（数數）→概念符号思维（小棒、百数片、计数器一般替代物）→模型形式思维（数字表示数），由形象思维向抽象思维发展，促进学生的素养发展。

（二）评价互动，促进学科核心素养发展目标的落实

数感是小学生核心素养表现之一。“数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。”［７］数感是一种感知，对事物的大小、多少、长短等，不同的人感知的方法、能力存在差异。低年级学生的数感培养起始于数数，通过对实物的数数，建立相应的数及数量概念，在数的过程中感受数的大小与数量的多少，在运算中体会增或减的变化及数量关系。当数数的经验和数的经验积累到一定程度，随着数学运算的学习，学生数感的方法、手段将更加丰富。

1. 在学生熟悉地经验活动中，逐步扩大数的范围培养数感

学生在本课之前一年多的数学学习经历，为本课的学习积累了一定的经验和数感。学生虽然已经学会了一百一百地数，但从学生最初对243无序的点子图的猜数中可以看出其对数的大小观念的建立存在不小的困难。本课数感培养重点落在“100、243、500、1000”数的感知与感悟。感悟是借助学生熟悉的数班级人数切入，算、估几个班的人数，并逐渐把数的范围扩大，前一个数是后一个数的参照标准，让学生体会精准和近似的关系，通过渗透估计数大小的方法来培养量感。

培养数感，始终离不开数和数量，数是抽象的，而数量则是具体可感的。

2. 在同数不同量之间转换，体会数的广泛意义

感受同数不同量的大小与多少，让学生获得较为丰富的感知、体会与经验。

数感的培养要注意当认识243的意义、建立了243数字模型后，教师还要给学生进行适当的问题拓展。

比如，“操场上有243人在上体育课，其实这个243就藏在我们身边，我们身边的什么是243？”“学校儿童剧场有243个座位。”“4本数学书纸的张数接近243。”“一节课有40分钟，几节课的时间就接近243分钟？”“我们学校一个儿童剧场有243个座位，两个呢？它大约是几百个座位？”

学生有了243丰富的感知后，发展到对500的感悟，并以此为参照，能感悟千的大小。“2个儿童剧场有486个座位，这个486还是一台微波炉的价钱。几台微波炉的价钱大约1千元？”生齐回答2台，可见此时学生对“1000”的数感很好。

知识结构的分析是学生学习的基础，认知结构（表征结构）的分析是学生学习的保障，思维结构的分析是学生学习的目标。深入地分析是为了更好地落实育人目标，更好地发展学生的素养。

参考文献：

［１］ 席爱勇，吴玉国. 学理分析：让结构化学习深度发生［Ｊ］.中小学教师培训，２０１８（０４）：５４－５７.

［２］ 史宁中． 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２０１６．

［３］［６］ 吴主国． 小学数学结构化学习的实践研究［Ｍ］． 南京：江苏凤凰教育出版社，２０２１．

［４］［５］ 约翰·Ｄ·布兰思福特，等. 人脑是如何学习的——大脑、心理、经验及学校［Ｍ］. 上海：华东师范大学出版社，２０１３．

［７］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（２０１１年版）［S］. 北京：北京师范大学出版社，２０１２.