以“图”助“解”

文／柏黎平

平面直角坐标系是沟通代数和几何知识的重要桥梁，在初中数学学习中具有重要意义。同学们在解决图形与坐标的相关问题时，往往会因为两者比较抽象的对应关系，出现各种各样的错误。为避免出现类似的错误，我们在做题时，要多动手画图，让图形来帮助我们解题和思考。

一、坐标系概念不清，象限正负不分

例1 在平面直角坐标系中，若点P（m-3，1-m）在第三象限，求m的取值范围。

【错因分析】出错的原因是对象限的概念和象限内点的特征掌握不到位，甚至仅凭记忆来解题。同学们在解决此类问题时最好在纸上简单画一下各象限的示意图，强化对各象限点的符号特点的认识。当然，我们若能做到“纸上无图，心中有图”就更好了。

二、到轴距离与横纵坐标对应关系错位

例2 已知，在平面直角坐标系中，点P（x-1，3x-2），且点P到x轴的距离为7，求点P的坐标。

【错解1】由题意得x-1=7，解得x=8。

∴3x-2=22。∴点P的坐标为（7，22）。

【错解2】由题意得3x-2=7，解得x=3。

∴x-1=2。∴点P的坐标为（2，7）。

【错因分析】错解1 误认为在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点的横坐标；错解2 虽然知道点到x轴的距离是该点的纵坐标，但没有意识到平面内到x轴的距离等于7的点有两个。同学们在做这类题时，若能及时画出平面直角坐标系，根据题意尝试在平面内画出点P并标注距离，就能发现到坐标轴距离和横纵坐标的对应关系，从而避免上述错误。

综上所述，点P的坐标为（2，7）或（-，-7）。

三、图形变换时坐标变化生搬硬套

例3 已知在平面直角坐标系中，点M的坐标为（-3，-2），将点M关于y轴作轴对称变换后，再向上平移3 个单位，变换后对应点N的坐标为（a+b，1-b），求a、b的值。

【错因分析】不少同学在遇到图形（点）的位置变换时，喜欢利用一些口诀（或公式）计算图形（点）的坐标变化，从而不画图快速解决此类问题。但此类方法有较大弊端，在口诀多了或时间久了之后容易产生混淆和错乱。比如本题做错的原因大概率为记错“关于y轴对称点的坐标变化特征”。同学们在解题时还是要按题意认真画图，用图形帮助思考，相信有了图1的帮助，就不会发生上述错误了。

图1

四、图形变化考虑不周全

例4 已知平面直角坐标系中，点P坐标为（2a-1，a+4），且点P在两坐标轴夹角的角平分线上，求点P的坐标。

【错解】如图2，已知点P在x轴和y轴夹角平分线上，则点P到x轴和y轴的距离相等，即点P的横纵坐标相等，∴2a-1=a+4，解得a=5。∴点P的坐标为（9，9）。

图2

【错因分析】两坐标轴的夹角平分线共有4 条，分别是四个象限中的x轴和y轴夹角平分线。因此，错解仅考虑第一象限的情况是不周全的。当问题条件指代不清时，我们就要分类讨论。

【正解】由题意分两种情况讨论：

①当点P在一、三象限夹角平分线上时，点P的横、纵坐标相等，此时2a-1=a+4，解得a=5。∴点P的坐标为（9，9）。

②当点P在二、四象限夹角平分线上时，点P的横、纵坐标互为相反数，此时（2a-1）+（a+4）=0，解得a=-1。∴点P的坐标为（-3，3）。

综上所述，点P的坐标为（9，9）或（-3，3）。

在平面直角坐标系中，坐标（实数对）的数量变化与图形的位置变化是相对应的，数量的变化必然导致图形的位置变化，反之亦然。同学们在解决图形与坐标的有关问题时，既要从坐标的数量变化上考虑，也要多画图，从图形变化角度研究问题，利用数形结合思想，更好地解决问题。