初中数学解题教学中逆向思维的运用

束晓松

【摘要】数学是一门严谨性、抽象性和逻辑性很强的学科，要求学生具备较强的思维能力.逆向思维是发散性思维的一种，对学生理解数学公式与概念以及运用数学知识具有较大帮助，能够有效地提升学生的学习效率.本文在阐述逆向思维概念及特征基础上，分析培养学生逆向思维对初中数学解题教学的重要意义，并结合初中数学例题对逆向思维在数学解题教学中的应用予以介绍，最后提出应从夯实数学基础知识、培养学生逆向思维以及加强逆向思维专项解题练习等方面培养初中学生的逆向思维，促进学生数学思维能力的发展.

【关键词】初中数学；解题教学；逆向思维

2022年4月21日，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）.新课标中指出数学核心素养由：“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界以及会用数学的语言表达现实世界等构成.”通过初中阶段数学课程教学的开展，在引导学生掌握数学知识和学会应用数学知识解决问题的同时，应当促进学生思维、价值观以及情感态度等多方面的进步和发展[1].逆向思维是一种极具创造性特征的思维，是建立在对已有思路的方向思考和分析，继而获得解决问题的新思路、新办法的一种思维方式[2].在初中数学解题教学中培养学生的逆向思维，引导学生善于正向思维与逆向思维的交替运用，促进学生数学学习质量的提升和学生个体数学核心素养的发展.

1逆向思维的概念及特征

逆向思维是正向思维的逆向发展，是反方向思考、分析和解决问题的一种思维方式.逆向思维通过突破传统思维，以新的角度思考问题，继而获得区别于传统方式的新的解决方案[3].例如，司马光砸缸的典故、电磁感应定律的提出等，都是对逆向思维的应用.同时，通过逆向思维可以将复杂的问题简单化，降低学生理解问题和解决问题的难度.

逆向思维的特征主要体现在三个方面：一是普遍性，即要求学生全方位多角度的对问题进行审视，站在与正向常规思维对立的角度进行分析思考，利于提升解决问题的效率；二是新颖性，即解决问题的方案区别于循规蹈矩的传统思维，更加关注事物的多方面属性.三是批判性，即强调对思维定式的批判性看待，破除固化习惯和经验对学生个体认知的影响.总之，通过应用逆性思维可以以一种“另辟蹊径”達到解决问题的目的，其优势主要在于可以将看似凌乱的问题简单化、高效化处理，可以帮助学生转变思考方式，有利于学生个体思维的发展以及感知能力的提升.

2逆向思维培养对初中数学解题教学的重要意义

在初中数学解题教学中培养学生逆向思维利于增进学生对数学定理、公式、定义的理解和运用[4].相比传统正向思维，逆向思维的优势在于可以培养学生想象空间、促进学生逻辑发展以及强化学生基础掌握.在初中数学解题教学中，培养学生逆向思维的重要意义主要体现在三个方面：

第一，可以有效地拓展学生的思维空间，培养学生的思维能力.教师通过引导学生从与传统思维相反的方向进行思考，可以转变学生思考问题的角度和方向，帮助学生更加透彻的对问题进行分析、思考，继而获得更加有效的解决方案[5].在整个过程中，学生个体的思维将会一步一步被打开，不拘泥于传统的正向思维，而是形成主动、积极地运用逆向思维的能力，以最快的速度得到问题的最佳答案.在数学解题练习中，许多题型都涉及到了双向性知识.例如，定理与逆定理的转化等.但是，受传统教学思想以及思维定式的影响，许多学生习惯于“从左往右”的正向思考，而少有运用“从右往左”，不利于学生思维发展和持续成长.

第二，可以有效地培养学生的创造力.逆向思维是发散思维的一种形式，有利于培养学生的创造力.在数学解题教学中培养学生逆向思维可以使学生想象力更加丰富、思维更加灵活，并能够形成自己独到的见解.教师应深度挖掘教材，从教材中寻找富有创造力的因素，引导学生探索，在分析题型、解决难题的过程中实现自身创造意识和创造能力的提升.通过拓展学生想象空间，学生可以对数学知识进行开拓性探索，形成创造性的解题思路.通过这个过程学生形成了逆向思考方式，对学生数学学科思维形成和想象力的提升具有重要意义.

第三，可以有效地提升学生自主学习能力.教师通过结合教材内容布置融入双向思维知识的数学题型，可以调动学生学习兴趣，利于学生自主探究能力的提升.初中阶段的学生普遍对新鲜的东西、方法等持有浓厚的兴趣.教师结合学生生活经验、兴趣爱好，设计与生活紧密结合的双向思维的数学题型，可以以兴趣为牵引，以教材为基础，以多样化的题型为载体，促进学生自主探究，并在探究过程中实现学习效果的提升.通过这个过程可以促进学生自主学习习惯的形成和逆向思维的发展，促进学生解题能力的持续提升.

总之，在初中数学解题教学中，教师必须重视学生逆向思维的培养和训练，合理地选择合适的题型，与正向思维题型教学紧密结合，让学生在对比分析、思考探索中掌握不同的思考方式，掌握更加丰富的解题技巧，有效地提升学生的数学课程学习效率和质量，为后续深层学习奠定扎实的基础.

3逆向思维在初中数学解题教学中的具体应用

教师在教学中应突出培养学生的逆向思维，可以突破传统思维定式，引导学生从一个崭新的角度思考和解决问题，提升解题效率和质量，并实现学生个体创新意识和创造能力的有效提升.在初中数学解题教学中，教师应着力从如下几个方面培养学生的逆向思维：

3.1教师做好课前备课工作，科学地设计数学例题

教师应在明确自身组织者、引导者的角色定位前提下，围绕学生这一课堂主体做好备课工作，科学地设计数学例题，突出逆向思维培养和训练，引导学生形成对逆向思维的正确认知和理解.在备课时，应注意如下几个方面：

第一，调研学生的数学基础和逆向思维能力情况.教师应对学生数学解题情况进行充分调研和分析，掌握学生的真实学习情况.教师可以设计能够体现双向思维的数学例题，组织学生进行测验，根据测验结果了解学生数学知识掌握情况、运用能力，并通过对测验结果的深度分析了解是否具备一定的逆向思考能力.同时，测验结果也可以为教师科学地设计和安排教学内容提供参考.

第二，科学设计逆向思维训练题型.教师应依据所收集的学生的学习情況以及学生集中反映的数学问题设计数学题，引导学生从反向角度思考，掌握运用逆向思维解决问题的能力.首先，教师围绕数学定义和公式设计包含双向思维知识的基础练习题.教师从正反两个方面进行讲解和分析，设计对应的联系训练题目，培养学生辩证思考的思维，引导学生掌握灵活运用公式定理的方法.其次，教师围绕反推法、反向否定、举例法等多种逆向思维解题方法设计数学练习题，引导学生掌握特殊解题方法，促进学生逆向思维的培养.此外，教师可以通过安排专项练习题的方式，引导学生熟悉“执果索因”与“由因导果”的思维方法，实现自身数学解题能力的有效提升.

3.2培育学生逆向解析题目的能力，培养学生逆向分析和判断能力

分析题目是数学解题第一环节.学生是否能够对题目进行准确的分析直接关系到其是否能够找到正确的解题途径.学生要是要从相对繁杂的题目描述中获取关键信息，单纯依靠传统的正向解题思路，可能会陷入题目设计者所埋下的“陷阱”中，从而无法进行高效解题.因此，教师在解题教学中，首先应向学生讲解逆向思维相关内容，引导学生形成对逆向思维重要性、方法等的认识.其次，将学生分别运用正向化思维和方向思维对课程涉及的定义、公式等进行讲解，并结合典型题型向学生展示逆向分析的过程，探索新的解题路径.通过培养学生逆向解析题目的能力，可以引导学生找出问题的本质.解题实践中，学生要能够抓到关键信息，并能够结合已有的信息进行有效地推导，寻找信息之间的潜在联系.例如，在代数教学中，遇到三元一次方程组时，引导学生运用不同的审题方法寻找未知数之间的关系.

例如在讲解“解一元二次方程”知识时，教师可以引入典型例题展示逆向分析的基本方法，引导学生形成运用逆向思维解决问题的意识.在例题“关于x的一元二次方程x2+x+a=0的根是1，则a的值为（）”中，教师可以在学生尝试的基础上，引入逆向思维的点拨，即根据对题目进行分析可知，x=1是方程的根.那么可以将x=1代入方程进行计算，进而将一元二次方程转化为简单的一元一次方程，并由此计算出结果，即a=-2.在这一典型例题中，可以帮助学生认识到定理的反向推理也是成立的，利于学生逆向分析能力的提升.

总之，通过培养学生逆向解析题目的能力，可以促进学生逆向分析能力和判断能力的提升，可以帮助学生更加深刻地理解数学中的概念、定义和定理.当学生在运用这些数学知识时，可以从更多角度进行思考分析.教师应当有意识的引导学生对定义的逆命题及其应用给予更多的关注，学会判断逆命题正确性的方法.学生自身必须具备一定的逆向化判断能力，才能判断逆命题的真假，才能在解题过程中正确的应用.

3.3引导学生掌握逆向证明的方法，提升学生数学解题效率

在培养学生逆向思维的过程中，教师应将引导学生掌握逆向证明方法作为重点内容.逆向证明是从问题的结果出发进行推导，即由果及因.通过逆向证明可以帮助学生掌握正向推导无法轻易解决的综合性较强的问题的方法.一般而言，常用的逆向推理方法有反证法、分析法、逆证法等.例如，在代数教学中，公式变形的证明、不等式的证明和三角函数的证明等均涉及到逆向证明.学生可以通过逆向思考，从结果出发，反向推到求初始条件，继而获得解决问题的新思路.

例如教师可以结合几何中的例题向学生示范逆向证明的方式.教师围绕“等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）”的知识点可以设计典型的证明题，在引导学生思考的基础上拓展学生的解题思维.在如图1的例题中“证明等腰三角形两底角必为锐角”中，可以先做出假设，即分别假设等腰三角形的两个底角∠B，∠C为直角或钝角，则显然内角和均大于180°，均与三角形内角和为180°存在矛盾.由此可以推断出等腰三角形两底角为直角或钝角时，均不成立.根据这一反向推理，可以判断出等腰三角形的底角只能为锐角.

总之，在解题中，学生掌握逆向证明的方法可以显著地提升解题的效率，避免因记忆错误或原理应用错误而造成的解题错误.在解题教学中，教师应当结合例题向学生讲解逆向证明法的实际应用，培养学生善于假设，正确假设的意识，并在教师的引导和示范下掌握这种解题的思路，突破固定思维的影响，实现解题效率的有效提升.

3.4加强逆向思维专项习题练习，促进学生逆向思维能力提升

在数学解题教学中，教师设计逆向思维专题练习活动，引导学生多观察、多思考、多联想，寻找普通问题的特色解法，掌握将复杂问题简单化处理技巧.通过这个过程可以培养学生正难则反的数学解题思路，并将这种思路灵活地运用到数学学习实践中.

例如专门针对分析法、反证法等设计典型例题，安排学生利用这些典型例题有意识的锻炼逆向思维，学会逆向使用公式、排除法等进行解题.教师在安排专项习题时不可过多，应力求典型、灵活，并形成对学生有效的引导，让学生在保持浓厚兴趣的前提下主动地思考和探索，实现逆向思维能力的发展.

例如在解如图2例题中的方程，从反面去考虑，可能会获得更为简捷的解题方法.解方程（组）时，一般需将多元化为一元，然后求解.但上述方程去根号后将得高次方程，求解困难.若逆向考虑增元，即设5x2-1=y（y≥0），于是，原方程变为y2-xy+x-1=0，左边分解因式，得（y-1）（y-x+1）=0.从而解得y=1或y=x-1，5x2-1=1或5x2-1=x-1，由此很容易求出x.

又如，在解答“已知x2+x-1=0，求代数式2x3+4x2+3的值”这一例题时，采用传统的解题思路较为繁琐.这时，可以考虑运用逆向思维，借助整体代入的方式，可以得到如下解答过程：先把已知变为x2+x=1，将2x3+4x2+3作如下的变化逐步代入2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3=2x（x2+x）+2x2+3=2x+2x2+3=2（x2+x）+3=5，这里在代入的方法上，一个是直接代入字母的数值，另一个是不求出x的值，而是求出x的代数式的值，这是互逆的两种思维方法[6].

总之，解题教学中，教师通过加强对学生开展逆向思维转向训练，可以拓展学生的思维空间，增进学生对数学知识的理解，进而转变以往对题目的解答思路，从更加简便和有效的角度进行思考，另辟蹊径，以逆向的思路来轻松解决运用正向思维较难解决的题型，有效提升学生的解题效率.

4初中解题教学中培养学生逆向思维的具体建议

在阐述初中解题教学中逆向思维的具体应用基础上，下文主要围绕如何培养学生的逆向思维展开简要论述.本文认为主要应从如下几个方面入手：

第一，夯实学生数学基础.学生能力的提升必须是建立在扎实的数学基础知识学习上.这是学生各方面能力得以获得提升的前提条件.因此，在日常教学中，教师应当高度重視巩固学生对基本定义、公式、定理的理解，并定期进行考查，确保学生具备足够扎实的数学基础知识.扎实的数学基础知识是培养学生逆向思维能力的重要保障.所谓熟能生巧.唯有充分地熟悉和理解数学基础知识，才能借助逆向思维灵活的进行运用，进而达到提升学习效率的目的.

第二，定期组织开展逆向思维专题式的解题训练活动.教师在深入挖掘教材内容的前提下形成逆向思维专题集，并定期开展小测验，让学生充分地接触各种类型的逆向思维题型，掌握灵活运用逆向思维解决数学解题问题的方法.专题式训练要发挥出应有的效果需要教师与学生共同努力.从教师的角度，应当充分利用课外时间广泛地收集典型的逆向思维应用例题，对这些例题进行合理的归类、筛选，最终将最具参考价值，且符合学生学习基础的题目作为日常课堂或课后练习的主要内容.在题目选择上要尊重学生的实际情况，不可太难或太简单，应坚持循序渐进、逐步提升的原则，分阶段、有步骤的安排，逐步提升学生逆向思维能力，让学生逆向思考成为本能，继而更加高效的学习数学.从学生自身的角度，应当提升学习和运用逆向思维意识的积极性和主动性，认真做典型题，并做好相应的记录和分析，在不断地努力的过程中必将看到自身逆向思维能力的提升.

第三，加强对学生逆向思维意识的培养.在初中数学解题教学中，教师必须要打破传统固化思维对学生的影响.固化思维容易让学生陷入思维泥沼，造成学生创新能力、逻辑能力等均受影响.因此，在教学中，教师要有意识的向学生介绍逆向思维的重要性，将逆向思维应用贯彻到课前、课堂以及课后等每个环节，让学生学会用逆向思维来解决问题的良好习惯.例如，正面不行用反面、顺推不行则逆推以及直接不行换间接等都是逆向思维的典型应用.通过有针对性的训练，转变学生的思维结构，增强学生思维的灵活性，提升学生双向思考能力，引导学生在解决问题时自然而然的从正面思维转到逆向思维的能力，继而促进学生数学能力的不断提升.

5结语

逆向思维能力是站在传统解题思路对立方向思考问题，其对定义、公式、定理等的运用均是反向的.培养学生逆向思维对提升初中数学解题教学效果，提升学生数学课程学习质量具有重要意义.在教学中培养学生的逆性思维是一个循序渐进的过程.因此，教师在初中数学解题教学过程中，应将逆向思维训练融入数学课程教学的全过程，引导学生在学习过程中掌握更多的数学知识和解题技巧，并有意识、有步骤将正向思维训练与逆向思维训练有机结合，拓展学生思维空间、丰富学生解题思路，进一步增进学生对数学知识的理解，促进学生核心素养的有效培育.

参考文献：

[1]吴辉集.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].亚太教育，2022（20）：149-151.

[2]邱雪玲.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].教育观察，2020，9（07）：69-70.

[3]柴丽娟.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略[J].科学咨询（教育科研），2019（09）：139.

[4]朱倩芸.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略[J].天津教育，2022（33）：49-51.

[5]李文江.浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].试题与研究，2022（31）：4-6.

[6]封回美.运用逆向思维巧解数学问题[J].数理天地（初中版），2022（07）：64-66.