关于图形折叠的考查探究

姜露

【摘要】图形折叠是中考考查的重点，通常从综合视角命题，解析时需理清折叠过程，结合折叠特性来构建模型，展开思路，同时合理处理其中的关联知识，结合几何性质定理逐步剖析.本文以2022年江苏省中考题为例，开展问题探究.

【关键词】初中数学；图形折叠；抛物线

折叠是几何的三大运动形式之一，也是中考考查的重点，实际命题中并不单一考查折叠性质，通常与其他知识相融合，如二次折叠与规律探究、折叠与动点、折叠与函数曲线等，下面以江苏省各市中考题为例，进行图形折叠考查探究.

1二次折叠特性探究

例1（2022年扬州市中考卷第17题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图1，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P.若BC=12，则MP+MN.

解三角形纸片ABC第1次折叠使得点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D，

可推得BD=DB′=12BB′，且有AD⊥BC.

第2次折叠使得点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P，

可推得AM=DM，MN⊥AD，

所以MN⊥AD，则MN∥BC.

又知AM=DM，则MN为△ADC的中位线，

可得MP=12DB′，MN=12DC.

因为BC=12，BD+DC=CB′+2BD=BC，

则MP+MN=12DB′+12DC

=12DB′+DB′+B′C=12BC=6，

即MP+MN=6.

评析上述考题的特殊之处在于以操作活动的形式开展三角形二次折叠探究，关注折叠过程，总结图形特性是重点.具体探究时将两次折叠的特性串联，充分挖掘图形性质，提取其中的中位线.

2折叠与动点探究

例2（2022年苏州市中考卷第16题）如图2所示，在矩形ABCD中ABBC=23.动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1<v2.当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动.在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N.若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则v1v2的值为.

解在矩形ABCD中，已知ABBC=23，

可设AB=2a，BC=3a，运动时间为t，

则CD=AB=2a，AD=BC=3a，

BN=v2t，AM=v1t.

在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到了四边形MA′B′N，由折叠特性可得B′N=BN=v2t，A′M=AM=v1t.

在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则DB′=B′C=a.

在Rt△B′CN中，B′C=a，B′N=v2t，CN=3a－v2t，

分析可证△EDB′∽△B′CN，（E为A′B′与AD的交点）

结合相似性质，由勾股定理可得DE=34a=A′E.

进一步分析可证△A′EM≌△DEB′（ASA），

可推得A′M=B′D=a，即AM=v1t=a.

则v1v2=v1tv2t=AMBN=a53a=35.

评析上述将矩形折叠与动点相结合，双动点运动过程中进行了矩形折叠.上述解析过程中将速度比值转化为线段比值，并将运动条件转化为线段条件，联合折叠特性来构建线段关系.对于折叠中的运动问题，设定时间条件化动为静是核心策略.

3折叠与抛物线探究

例3（2022年宿迁市中考卷第28题）如图3，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O （0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，點A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合.

（1）试求二次函数的表达式；

（2）求证△OCD∽△A′BD；并求DBBA的最小值；

（3）当S△OCD=8S△A′BD时，试求直线A′B与二次函数的交点横坐标.

解（1）简答，二次函数表达式为y=12x2－2x.

（2）先由折叠特性可知△ABC≌△A′BC，再证△OCD∽△A′BD；

DBBA的最小值为22.

（3）因为S△OCD=8S△A′BD，则S△OCDS△A′BD=8，

又知△OCD∽△A′BD，

则OCA′B=8=22，

其中OC=22，则A′B=AB=1，

可得点B（3，0），

求得直线BC的解析式为y＝2x-6.

设点A′（p，q），线段A′A的中点为（p+42，q2），中点在直线BC上，

故q2=2×p+42－6，可解得q=2p－4.

可推得A′B=（p－3）2+（2p－4）2=1，

整理可得（p－3）2+（2p－4）2=1，

可解得p=2或p=125.

当p=2时，此时A′（2，0），显然不符合题意；

当p=125时，此时A′（125，45），符合题意，

求得直线A′B的解析式为y=－43x+4，与抛物线的解析式联立，可求得直线A′B与的二次函数图象的交点横坐标为2+2193或2－2193.

评析上述将抛物线与折叠相融合，考查学生综合处理问题的能力.对于函数曲线背景中的折叠问题，核心解法为数形结合，同时需关注其中的两点：一是折叠前后组合成轴对称图形，涉及相似、全等、中点特性；二是折叠图形中的对应点关于折痕对称，且连线的中点必然位于折痕所在直线上.

4结语

上述问题呈现了折叠知识综合考查的常见形式，立足折叠过程与特性，与几何、动点、函数等知识相结合构建综合性问题.问题突破需关注折叠过程，理清对应点，把握对称、全等特性来推导位置关系和长度关系.同时解题过程充分利用数形结合、模型构建等思想方法，提升解题直观性.