寻根溯源：让意义自然生长*——以“小数除法”教学为例谈数运算的一致性

李 军

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）指出：数学课程内容的一大特点就是整体性。对“整体性”的理解落实到小学“数与代数”内容领域，就要让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。新课标里的这段话字数不多，但“知易行难”。如何更好地将新课标要求融入课堂教学呢？“小数除法”是小学数学四则运算教学的重要内容，教师应如何在其教学中引导学生真正理解并构建数运算的一致性呢？下面，笔者来谈几点思考。

一、寻根：构建数运算一致性的全局性理解

从当前的教材和教学来看，关于数的运算，加法、减法、乘法、除法有各自的算理，整数、分数、小数也有各自的算法，这些知识看似支离破碎，缺乏内在一致性，其实不然。以“小数除法”为例，我们可以从运算的意义、算理和算法等视角构建对数运算一致性的全局性理解，从而更好地实施基于数运算一致性的结构化教学。

1.纵向理解：小数除法与整数除法的一致性

从运算算理、算法上分析，除法运算的一致性体现在：计数单位与计数单位相除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相除。以整数除法为例，被除数被分解成以不同计数单位为单位的若干个部分，这些部分分别参与运算，再将得数组合。如“480÷2=240”其实就是被除数“480”被分成“4 个百”和“8 个十”，分别除以2，得到“2 个百”和“4 个十”，也就是“240”。不管是整数除法还是小数除法，都要遵守一个统一的规则：逐步平分不同数位上计数单位的总数。如“11.5÷5=2.3”，其实就是“11.5”被分成了“10个一”与“15 个0.1”，分别除以5，得到“2 个一”和“3 个0.1”，也就是“2.3”。通过这样的规则使得每一次的商总是小于或等于9 个计数单位，这就将除法运算还原成了乘法口诀表中的乘法运算，其背后其实是位值制和除法运算意义的一致性，我们可以把它看成一种纵向的一致性。

2.横向理解：小数四则运算的一致性

从运算意义上分析，加法是运算意义的基础，减法、乘法、除法都是在加法基础上衍生而来的，那么，小数除法与小数的加法、减法、乘法之间也是有一致性的。小数加减运算就是将每一个数按照计数单位进行分解，然后相同计数单位上的数字相加减。如“1.26+4.1”，两个加数分别分解成“1 个一，2 个0.1，6 个0.01”和“4个一，1 个0.1”，相同计数单位上的数字相加减后得到“5 个一，3 个0.1，6 个0.01”，即“5.36”。小数乘法运算也是计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘。在这个意义上，小数除法中体现出来的一致性是对“位值制”和“运算都是对计数单位进行操作”这两个大概念再一次强有力的证明，带领学生建立知识之间的联系，体会知识的本源性、一致性和整体性。

基于上述分析，要构建对数运算一致性的全局性理解，就要带领学生体验计数单位的统领作用，纵向探索整数、分数、小数运算的一致性，横向打通四则运算的一致性，促进他们逐步理解所有运算均基于计数单位，从而达到算理贯通、算法统整的目标（如图1）。

（图1）

二、扎根：践行数运算一致性的关注点

要解决“小数除法”难以真正理解的问题，仅仅停留在对“小数除法”的研究是不够的，需要系统思考、整体布局。

1.突破重难点，建立“数”与“运算”之间的联系

数概念是数运算的基础，数运算是对数概念的再应用，由此可见数概念的理解对数运算的重要性。具体到小数除法，小数意义的精准建构就是小数除法计算的一块重要基石，直接影响到小数除法计算的学习效果。但是，小数意义的教学同样是小学阶段难啃的一块硬骨头，学生在小数意义理解方面主要存在以下两个问题：一是学生对小数的数位意义缺乏足够的理解，比如，学生能够理解“1 可以转化为10个0.1”，但将这种理解转化成计算中的“满十进一”并利用数位与位值进行表征时，就出现了不同的错误，这也说明学生并没有将整数的十进位值计数与小数的十分位值计数统一上升至十进制思维；二是学生通常认为小数表示数量，不能从“整体—部分”的意义层面加以理解，比如，与盒饼干相比，0.25 盒饼干的意义更难被学生理解。显然，学生并没有很好地从整体视角上关联整数、小数、分数。

关于小数意义的教学研究相当丰富，限于篇幅，本文仅基于以上分析提出两点思考。

其一，在教学小数的意义时，样例适当增加带小数。在教学小数的意义时，常常需要结合面积模型、立体模型等不同模型理解小数“十分”的本质，此时教材中的样例以纯小数居多（如图2）。在初学小数的意义时，这样的安排有其合理性，没有整数部分的干扰，分数与小数的联系更容易凸显。但考虑到在完成此类练习时学生仅凭三年级学习“小数的认识”“分数的认识”的经验就可以准确填空，很容易忽略掉最关键的一步。没有真正建立起小数和分数之间的联系，小数概念的本质就不能很好地凸显。因此，在后续练习巩固时，要合理进行变式练习，尤其应当在样例中适当增加形如“”“”的练习，帮助学生真正理解“小数是按照十等分和逢十进一的规则构造出来的，和整数一起构成完整的位值计数系统”，促进学生发展十进制思维，这才是小数教学的本质意义和核心所在。

（图2）

其二，在理解“整体—部分”关系时，适当增加非十进率情境。学生在日常生活中常常能在超市等地见到小数，很容易读懂表示价格的小数，但也只是从“形”上记住了小数，对小数意义的理解只停留在元、角、分等特定情境下。如学生在理解“1 元2 角3 分=（）元”时，依据是“元”对着个位，“角”对着十分位，“分”对着百分位，这种解释没有上升至对小数抽象概念的理解，不能很好地实现小数概念的数学化。因此，在教学中，不能忽视从“整体—部分”的层面理解小数的意义，争取实现“在非十进率的单位情境下理解小数的含义”和“在无情境下能够理解小数计数单位的意义”。如在学习小数的意义时，可以先有意识地增加“1 米3 厘米=（）米”“12 克=（）千克”等整百、整千进率的单位情境，再尝试挑战“0.4 分=（）秒”等六十进率的单位情境。这样的设计符合学生学习小数概念的一般路径，有助于学生在不同进率的单位情境中学习体验，不断深化思考，提炼出共性，从而达成对小数抽象意义的理解，形成对小数概念本质的深刻理解。

2.找准关键点，打通“运算”与“运算”之间的联系

数学运算是一个统一体，但要真正打通运算与运算之间的联系并不容易。“小数除法”主要包含“小数除以整数”“整数除以整数（商是小数）”“小数除以小数”等内容，实际上，小数除法可以简单分为两类——“除数是整数的小数除法”和“除数是小数的小数除法”。由于“一个数除以小数”可以通过商的变化规律转化为“除数是整数的小数除法”来计算，其他知识都围绕这两种小数除法展开并逐步深入，所以事实上，“小数除法”教学的核心内容就是“除数是整数的小数除法”。

进一步分析，在“除数是整数的小数除法”中，多个版本的教材均以“小数除以整数”为第一课时，因而笔者以“小数除以整数”为研究对象开展了一次调查。随机抽取四年级两个班90 名同学，要求学生用自己的方法完成“买了5支铅笔，用了11.5 元，每支铅笔多少元？”这道题。调查结果出乎意料，87.8%的学生能够根据情境正确列出除法算式并得到正确答案，学生是怎么做到的呢？

在回答正确的学生中，有79.7%的人迁移了整数除法的计算方法，列出如图3 所示的竖式。笔者对这部分学生进行访谈发现，他们尽管是首次接触小数除法，也没有学习过小数乘法，但因其在之前的学习中体验到了“小数加减法”与“整数加减法”的一致性，了解到“小数加减混合运算的法则与整数相同”，所以大胆猜测可以将“整数除法”的算法迁 移 到“ 小 数 除法”。需要注意的是，仅有5 个学生在竖式计算中“除到小数部分不保留小数点”，其余学生均保留了小数点，这说明多数学生没有理解竖式的每一个步骤都是在记录“计数单位数量的等分”。

（图3）

针对上述问题，笔者从两个方面提出教学建议。

其一，强化操作，重视过程。无论在整数除法还是小数除法的教学中，都要强化操作活动，重视让学生经历“分的过程”。在学习整数除法时，要舍得花时间，如提供如图4所示的学具，让学生充分经历对“计数单位”的操作，并在操作完成后引导学生用语言描述“分的过程”。如此，操作、算式、语言在比较中互相转化，丰富了“分”的表象，强化了“分”的感知，再放手让学生独立尝试列竖式计算。即使如此，在学习小数除法时，依然不能忽视“分的过程”，小数点要不要下来，不能简单一笔带过，要借助“元、角、分”模型，让学生从计数单位的角度来理解，通过具体操作明晰，在小数计算的过程中，始终都是在进行“计数单位数量的等分”，达成计数单位统领下的小数除法与整数除法的一致性。

（图4）

其二，加强关联，适度深化。在调查中，学生解决问题的方法多达十余种，比较典型的有拆分法和转化法。教师可以先引导学生进行分类，梳理出不同方法之间的共性，得到拆分和转化两种方法，但分析不能仅仅停留在这一层面，还要去粗取精、由表及里。从本质上来说，转化法就是纵向上的数运算的一致性，都是把小数除法转化为整数除法后进行计算，只是转化思路各有千秋。拆分法则是逐步平分不同数位上计数单位的总数，体现的是运算都是对计数单位进行的操作，可以从横向上的数运算的一致性进行理解。站在这样的高度赏析学生作品，既有助于激发学生的自豪感和自信心，也有助于他们形成数学的眼光、数学的思想和方法。

当然，引导学生体会数运算的一致性，不可急于求成，而要静待花开。我们要从零敲碎打走向整体建构，在数的认识、数的运算的每一节课中寻根溯源、把握本质，在日积月累的坚持中期待复利效应凸显，助力学生核心素养的培养和提升。