“运算一致性”的价值理解与实践路径

王 岚

2022 年4 月，教育部印发义务教育课程方案和语文等16 个课程标准（2022 年版）。面对新的课程方案和课程标准，需要一线教师在学习中思辨、在比较中研读。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）在“数与代数”领域关于“一致性”的表述引发了笔者的深入思考与深度实践。

一、从宏观、中观、微观三种视角理解一致性

1.宏观视野下的一致性

宇宙之中，万事万物皆处于运动、发展、变化之中。《荀子·儒效》有言云：“千举万变，其道一也。”千变万化的是表象，其本质规律是一致的。正所谓“万变不离其宗”。这里的“道”和“宗”都蕴含了事物发展变化规律在本质上的一致性。

人的成长与发展同样遵循生长规律的一致性，每个年龄段的儿童都具有这一阶段儿童共同的身心发展特点。皮亚杰提出儿童认知能力发展存在着阶段性，分为感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7 岁）、具体运算阶段（7～11 岁）和形式运算阶段（11 岁以后）。每一个阶段的儿童，在认知能力发展方面都具有阶段发展的共通性与发展方向的一致性。

从核心素养发展的角度来看，学生在不同阶段的数学素养发展也具有一致性。新课标从三个方面表述数学课程要培养的学生核心素养：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。同时，将核心素养在小学、初中、高中三个阶段的具体表现从内涵上进行贯通与衔接，如高中学段核心素养表现之一的数学抽象，在初中学段就具体表现为抽象能力，在小学阶段整体体现为数感、量感和符号意识。新课标的表述方式从内涵上将小学、初中、高中的核心素养表现贯通起来，使得整个基础教育阶段的数学课程标准达成统一，实现整体性、一致性和阶段性。［1］

2.中观视域中的一致性

在课程内容的组织上，新课标提出要重视内容的结构化整合。从课程内容的角度理解一致性，可以从以下五个层面进行思考。

其一，数学课程内容的总体编排具有一致性。各个学段之间的内容彼此关联，层层深入，螺旋上升，形成了一个系统化的数学知识结构。例如，小学阶段的“数与运算”和初中阶段的“数与式”在内容方面就具有一致性，数的运算从加法、减法、乘法、除法单一的运算开始，逐步发展到混合运算。随着数的认识不断拓展，逐渐从整数运算延伸到小数、分数运算，进而发展到有理数的运算。

其二，数学课程内容的领域安排具有一致性。例如，“数与代数”领域从《义务教育数学课程标准（2011 年版）》原有的六个主题整合为两个主题，将具有高相关性的“数的认识”和“数的运算”这两个主题整合为“数与运算”这一个主题，就是强调数学学科本质与学科内容结构化设计的具体表现，强调数与运算具有一致性。这样的整合编排，有利于凸显数学本质，有利于学生更好地建构数学认知系统。

其三，数的概念与数的运算从本质而言具有非常强的意义相关性，数的意义和数的运算具有一致性。数的概念的建构基石和数的运算的底层逻辑都是计数单位。从数的概念的运用和数的运算的解读来看，数的概念是数的运算的前提，数的运算是对数的概念的应用。对于算理的理解和算法的解读，最终都要追溯、回归到数的意义。

其四，数的运算与运算之间具有非常密切的联系，小学阶段学生学习的加法、减法、乘法、除法，从其根源来说都是加法的发展与演化。减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，除法也是乘法的逆运算，所有的运算都可以还原为加法。因此，从这个意义上来说，加法、减法、乘法、除法这四种运算具有一致性。

其五，同一种运算在整数、小数、分数的具体计算中，从形式上来看，很多都不尽相同，从算法的表述来看，有些还相去甚远。但究其本源，无论是整数、小数还是分数计算，其内在的算理是一脉相承的，其内隐的算律是可迁移运用的，因而从运算的内涵和意义来说具有一致性。

3.微观视角里的一致性

从更为具体的角度来看，同样一个算式，在多样化的运算过程中，其外在表现形式可以是完全不同的，但观其根本，其内在的核心仍然是完全一致的。这里的“一致”，可以是算理的一致，可以是算律的一致，可以是概念的一致，也可以是意义的一致。

二、从算理、算法、算律三个维度表达一致性

1.算理：让算法有魂

在小学阶段，整数运算是小数运算、分数运算的基础。整数运算的算理可以推广、迁移到小数和分数的运算中。从运算一致性的角度重新审视现有的教材和当下的教学，我们往往会发现，整数运算有整数运算的计算法则，小数运算有小数运算的计算法则，分数运算的计算法则与小数运算的计算法则大不相同。算法各不相同，算理是否相通呢？

以加减法运算为例，整数加减法和小数加减法在运算过程中都需要做到数位对齐，相同数位上的数相加减。而在进行分数加减法计算时，受整数加减法和小数加减法计算法则的负迁移，学生容易推想为分母和分母相加减作为分母，分子和分子相加减作为分子。出现这一现象的主要原因就是教师教学时重算法而轻算理，重结果而轻过程，从而导致学生对算理的理解不清晰。整数加减法和小数加减法为什么需要数位对齐后相加减呢？我们调研发现，有相当比例的学生并不清楚深层次的原因，相同数位上的数相加减背后的算理是相同计数单位的数才能直接相加减。而分数的计数单位和整数、小数按数位确定计数单位有很大的不同，分数的分母决定了分数的计数单位。因此，分数单位相同的分数才能直接相加减。当我们追溯知识的本源时就会发现，整数、小数和分数加减法从形态上看存在差异，从算法上看有所不同，但算理完全一致。计数单位相同时，可以直接相加减。计数单位不同时，需要转化为计数单位相同的数再进行加减。同分母分数可以直接相加减，分母不变，分子相加减。异分母分数需要先通分转化为同分母分数后再进行加减，其背后的原理其实与整数和小数加减法完全一致。通过这样的联系、对比与分析，学生就会清晰地感受到，分数加减法是整数和小数加减法的拓展，加减法运算的本质就是相同计数单位的不断累加或递减。

2.算法：让算理有形

新课标指出，计算教学要让学生“经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法”［2］。从这一角度来看，理解算理和掌握算法同等重要。如果说算理是内部的处理器，算法就是外部的显示仪。算理，让算法有魂；算法，让算理有形。

以两位数乘两位数的整数乘法为例，面对43×21 这样一个具有挑战性的问题，学生通过自我尝试、同桌交流、小组研讨，进而在全班分享环节呈现出很多具有创造性的解决方案（如图1）。有的在两位数乘一位数的经验基础上尝试进行竖式计算，有的基于两位数乘整十数的计算经验及乘法的意义进行脱式计算，有的基于长方形的面积计算创造性地转化为分区计算。

（图1）

有经验的教师还可以引入更多的解决方案，如铺地锦的方格解法、画斜线的数点解法（如图2）。分析各种方法，解决方式不同，外在形式不同，内在算理却具有一致性。每一种算法形式化的外壳下所包裹的都是计数单位及其个数累加的内核。“万法归宗”的算理，让每一种算法都拥有数学的精神内核；“条条大路通罗马”的算法，让算理拥有数学的形式表达。

（图2）

3.算律：让算理有根

小学数学中涉及的运算律主要有加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律、分配律。运算律是运算自身发展的必然需要，是基本运算在算法执行中产生的规约。

如果说算法是外显，算理是内核，那么算律就是运算的根服务器。从上例所呈现的43×21的各种算法来看，都需要建立在基本运算律的基础之上。无论哪种具体的算法，都是基于计数单位及其个数累加的算理而出现的。而计数单位及其个数的累加，具体可以表达为43×21=（40+3）×（20+1）=（40+3）×20+（40+3）×1=40×20+3×20+40×1+3×1=903，这一长串运算过程，不仅基于数的组成的相关知识，也基于乘法分配律的基本运用。乘法分配律不仅适用于整数，也适用于小数。小数乘法的运算过程和整数乘法的运算过程，从算律到算理，从算理到算法，总体具有一致性。如4.3×2.1=（4+0.3）×（2+0.1）=（4+0.3）×2+（4+0.3）×0.1=4×2+0.3×2+4×0.1+0.3×0.1=9.03，从运算过程来看，和整数乘法相比，我们会发现它们的相似度极高，都是运用乘法分配律进行计数单位和计数单位个数的计算。

三、从意义、模型、策略三条路径实践一致性

1.意义关联：运算一致性的内涵基础

谈到数的运算，就不能不谈数的概念。数的概念与数的运算是具有一致性的，这也是数的运算一致性的前提和基础。整数、分数、小数本质上是一脉相承的，都是基于计数单位构建的。而数的运算的核心就是计数单位及计数单位的累加或递减。数的概念及数的运算都是以计数单位为统领的。因此，从意义关联的角度建构数的概念与数的运算的一致性，是运算一致性的内涵基础。

在教学中，需要教师着重关注建立数与运算之间的关系，引导学生体会和感受计数单位在数的概念建立和数的运算过程中的统领作用，体会数的表达方式和数的运算方法之间的一致性。数的概念重点聚焦的是计数单位及其个数的多少；数的运算重点研究的是计数单位及其个数的增减。以计数单位为大概念，数与运算就形成了强联结。基于计数单位这一大概念，需要教师从小学阶段数与运算的整体视野全面设计、系统安排、层层推进。

巩子坤、史宁中、张丹建构了数的概念与运算的一致性框架（如下页图3），将核心概念、基本规律、基本运算、基本实施的关系进行了系统呈现，对一线教师从意义上理解和建构数的概念与运算的一致性进行了结构化引领。

图3 数的概念与运算的一致性框架［3］

2.数形结合：运算一致性的物理支架

基于小学生认知发展的阶段性，在数的运算的学习过程中，教师可以引导学生借助形的表达将算理可视化。运算的本质其实就是计数，计数需要关注计数单位及计数单位的个数。聚焦计数单位是什么、计数单位的个数是多少，借助直观形象的图示，可以做到有形可依、有理可说、有法可循。

例如，可以利用小棒图、圆片图、点子图、方块图、示意图、流程图等表达计数单位的累加或细分，表达计数单位个数的累加或递减。基于运算进行操作与绘制，画出思考，画清思路；基于图形进行解释与推演，说清算理，讲清算法。数与形彼此关联，以数解形，以形释数，充分发挥符号表征与图形表征的不同优势，从“画数学”到“话数学”再到“数学化”，为体会和感悟运算一致性提供物理支架。

3.模型建构：运算一致性的核心关键

在数的运算的教学中，不仅需要以数的概念为基础，同时也需要以运算的意义为基石。尤为需要从小学低年级起就重视学生对于加法、减法、乘法、除法模型的建构，并且在四个模型间建立关联。以加法模型为底座，生长和延展出减法、乘法、除法模型，引导学生感受加法、减法、乘法、除法这四种运算之间的联系，体会加法运算是所有运算的基础，感受其他运算与加法运算之间的关系，感悟其他运算都可以还原为加法。

另一方面，随着学生对于数的认识范围的扩展，在建构整数加法、减法、乘法、除法运算模型的基础上，还需要引导学生衍生建构小数和分数的加法、减法、乘法、除法运算模型，并通过算理的同根同源、算法的万法归宗，将其与整数加法、减法、乘法、除法运算模型一起纳入加法、减法、乘法、除法运算模型的总体框架之中。

在这样的学习和研究历程中，从模型建构到模型拓展，进而到模型归一，为后续数系扩张后的运算学习打下坚实的基础。

从数的概念本质上的一致性到数的运算本质上的一致性，从理解到认同，从认同到实践，在解构中重新建构，在建构中持续升级，我们携手走在研究与实践的道路上。