曲边固支双稳态层合壳结构的自由振动分析

方帆,郝育新

(北京信息科技大学 机电工程学院,北京 100192)

0 引言

双稳态层合壳结构具有两种平衡位置,每种稳态都是自然平衡的,其结构是由碳纤维增强材料和树脂基体复合而成,根据每层纤维铺设角度的不同,分为非对称和反对称等铺设方式。由于热膨胀系数不一致,复合材料层合板在固化过程中产生两个柱形的平衡稳态构型和一个不稳定的马鞍形状态。这种平衡构型不需要外部能量输入来维持其圆柱构型,且只需较小的外部力就可以实现两种构型之间的相互跳变。因此,双稳态结构已被应用于自适应结构、可变形机翼、变体飞行器等变形部件的研究和制造[1-2]。火箭、飞机机翼、叶轮机和涡轮发动机叶片、潜艇船体等结构通常被简化为曲边固支模型的悬臂结构。在复杂的应用工作环境中,双稳态层合壳结构不可避免地会受到外部载荷的冲击,从而导致振动的发生。因此,研究曲边固支双稳态层合壳的振动特性具有实际意义。

Hyer[3]率先研究了双稳态非对称复合层板,发现其存在两种近似圆柱态的稳态构型,且主曲率方向相互垂直。随后,Daton-Lovett[4]发现反对称复合材料层合板也具有双稳态特性,且存在两种曲率方向相同的圆柱构型。也有研究者采用有限元方法来模拟这两种铺设方式的稳态构型,所得结果与理论方法基本一致[5]。Swaminathan等[6]利用一阶剪切变形理论研究了角铺设反对称复合材料层合板的自由振动。翟彦春等[7]推导了复合材料夹芯开口圆柱壳的动力学方程,并研究了开口角度对自由振动的影响。Firouzian-Nejad等[8]利用高阶形函数对双稳态正交复合材料层合板的固有频率进行了准确的预测,并对其振动特性进行了有限元分析。Emam[9]研究了铺层为[90n/0n]的双稳态复合材料层合板的自由振动,在中点固支的情况下,计算了不同长厚比对基频的影响及其变化趋势。Vogl和Hyer[10]考虑了方形层合板的线性振动特性,主要研究了夹紧中点时的固有频率和相关振型。Wu等[11]采用有限元以及理论和实验方法研究了四角点简支双稳态方壳的自由振动。Zhang等[12]研究了边界条件为中心点固支-四边自由的非对称双稳态壳的振动特性,并获得不同参数下的频率和模态振型。

在具有悬臂边界条件的双稳态层合壳结构上,Arrieta等[13]提出了双稳态悬臂板的稳定构型,并开发了导致结构快速跳变的模态频率的变形策略。Pan等[14]对悬臂混杂铺设对称层合板的跳变行为进行了研究。Brunetti等[15-16]研究了悬臂边界条件的双稳态非对称稳定构型的非线性动力学,并描述了包括规则动力学、混沌动力学和快速穿越运动在内的全局动力学。

本文基于一阶剪切变形理论和壳理论,应用瑞利-里兹法(Rayleigh-Ritz)和切比雪夫(Chebyshev)多项式,求解曲边固支的非对称和反对称双稳态层合方壳的固有频率和模态振型,并讨论了不同尺寸大小和铺层数量对其固有频率的影响。

1 理论表述

1.1 力学模型

本文研究的一条曲边固支,其他三条边自由的非对称和反对称双稳态圆柱复合材料层合方壳模型及其几何参数如图1所示。

图1 曲边固支双稳态层合壳模型

其中,笛卡尔坐标系(O-xyz)位于圆柱稳态构型的中面,且坐标原点选在固支曲边的中点。悬臂双稳态层合壳的总厚度为h,曲率半径为R,长和宽分别为Lx和Ly,对于方壳来说,Lx=Ly。图2给出了双稳态非对称和反对称复合材料层合板的两种铺层方式。

图2 复合材料层合板的铺层方式

1.2 能量表述

考虑横向剪切变形影响,使用一阶剪切变形理论来表述悬臂双稳态层合壳内任意点在x、y、z坐标方向的位移分量:

(1)

式中:u0(x,y,t)、v0(x,y,t)、w0(x,y,t)为中面z=0上任意点在x、y、z坐标方向上的位移分量;φx(x,y,t)和φy(x,y,t)为层合壳中面法线关于y轴和x轴的旋转函数。

正交非对称和反对称铺设的双稳态层合板稳态构型可以看作是壳模型。因此,采用壳体理论并只考虑应变与位移之间的线性关系,第k层的应变-位移关系为

(2)

式中:

考虑固化温度的影响,第k层双稳态悬臂圆柱壳的本构关系为

(3)

式中:σxx,σyy,τxy,τyz和τxz为应力分量;ΔT为固化温度差;热膨胀转换系数αxx,αyy和αxy可表达为以下的形式:

(4)

(5)

式中:S和C代表sinθ和cosθ,θ表示相对于坐标系的复合材料单层板的纤维铺设角度;刚度项Qij(i=1,2…,6;j=1,2…,6)为

Q66=G12,Q55=G13,Q44=G23

(6)

因此,每层双稳态悬臂层合壳的动能可通过下面公式进行计算:

(7)

双稳态层合壳应变能计算公式为

(8)

式中:N为总铺层数量。值得注意的是,该式的应力项已经包含了热应力影响项,因此考虑了固化温度差对壳体的影响。

1.3 固有频率和振型的求解

为了求解悬臂双稳态层合壳的振动固有频率和模态,采用瑞利-里兹法和切比雪夫多项式。瑞利-里兹法是研究双稳态固有振动特性的一种常用且经典的方法。使用切比雪夫多项式优点是可以减小龙格现象,并提供最佳的均匀近似。系统的位移和旋转位移可表示为

(9)

式中:U(x,y),V(x,y),W(x,y),Φx(x,y)和Φy(x,y)为各位移分量的模态振型函数;ω为系统固有振动频率。由于坐标原点选取在固支曲边的中点,为了在整个层合壳区域保证切比雪夫多项式的正交性,需进行坐标变换,即ξ=2x/Lx-1,η=2y/Ly。

模态振型函数以双求和级数形式表示,即在两个方向上用切比雪夫展开式乘以相应的边界函数值。展开形式如下:

(10)

式中:Umn,Vmn,Wmn,Φxmn和Φymn为多项式待定系数;Tδm和Tδn(δ=u,v,w,Φx,Φy)为多项式表示的位移项,即两个方向上边界函数值乘以m阶和n阶的切比雪夫展开式,其具体表达式为

Tδm(ξ)=fδ(ξ)pm(ξ),Tδn(η)=gδ(η)pn(η)

(11)

式中:fδ(ξ)和gδ(η)为边界函数值,可由每条边的边界条件进行选取,相应的值如表1所示;pm(ξ)和pn(η)均为切比雪夫多项式递推关系式,表达式为

(12)

其中M和N为切比雪夫多项式的阶数。

表1 不同边界条件对应的边界函数值

将式(9)代入到式(7)和(8),可获得系统的最大动能和势能。悬臂双稳态层合壳的能量函数表达式为

Π=Umax-Kmax

(13)

利用瑞利-里兹法,令能量函数对系数Umn、Vmn、Wmn、Φxmn和Φymn的偏导数为零,可以求解特征值问题,即

(14)

式(14)可以整理为以下形式

(S-ω2D)P=0

(15)

式中:S和D分别为刚度和质量矩阵;P为各阶频率对应的多项式待定系数向量,其表达式可写为

(16)

将线性振动方程的系数矩阵设为零,可计算出双稳态悬臂层合壳的广义特征值,即固有频率,将其代入式(15)中,可确定相应的模态。

2 稳态构型

首先使用有限元软件ABAQUS来获得非对称和反对称层合板的稳态构型,假设层合板材料为CFRP环氧树脂Gr.-Ep (T300/934)[17],材料特性参数如表2所示。表中:E1、E2为材料的弹性模量;v12、v13、v23为泊松比;G12、G23、G13为剪切模量;ρ为材料密度;ΔT为高温固化温度差;α1、α2和α3为材料的热膨胀系数;tply为材料每层的厚度。

表2 材料Gr.-Ep (T300/934)特性参数

在建立有限元模型时,采用四节点S4R壳体单元类型,并考虑几何非线性和固化温差的影响。层压板的初始温度设为170 ℃,固化后降至室温20 ℃。对于方形层合板,固化后形成的两个柱形构型经过一定角度的旋转会重合,即其曲率大小相同。因此,本文只研究上稳态构型的振动特性。

此外,采用有限元法研究了4层非对称和反对称层合壳的半径收敛性和网格密度对半径的影响,如表3所示。从表3可以看出,当网格密度为50×50时,曲率半径趋于一致和收敛。因此,在模拟双稳态构型时,采用50×50的网格密度来确定曲率半径,以满足可接受的精度。表4为有限元计算得到的双稳态悬臂层合壳的半径,计算结果与文献[18]采用的壳理论计算出的半径进行了比较。从表中可以看出,所有的误差都在可接受的范围内。

表3 四层非对称和反对称层合壳半径随网格密度收敛性

表4 不同尺寸四层非对称层合壳曲率和半径对比

3 对比验证及结果分析

3.1 对比验证

为了证实理论方法的正确性和可靠性,通过两组算例与已有文献[19-22]以及有限元分析结果进行了比较。

算例2：以具有完全自由边界条件的各向同性圆柱壳为研究对象,材料特性为:E=210 GPa,ν=0.3,ρ=7 800 kg/m3;几何参数为:R=2 m,θ=45°,L=3 m,h=0.01 m。与文献[22]采用的切比雪夫-里兹法计算结果以及有限元结果进行了比较,表6列出了对比结果的前8阶频率。

表5 四层开口圆柱壳的前6阶无量纲频率对比

表6 自由边界条件下圆柱壳的前8阶固有频率对比

从表5和表6可以看出,采用本文的理论方法计算出来的结果与文献具有良好的一致性,表明该理论方法可以用来求解系统的自由振动频率。

3.2 固有频率和振型

表7给出了一条弯曲边被固支,其他边自由的非对称和反对称铺层双稳态层合方壳的前6阶频率。悬臂双稳态层合壳尺寸大小分别为0.3 m×0.3 m、0.35 m×0.35 m和0.4 m×0.4 m,铺层数量有4、6和8层。在数值计算中我们发现,选取切比雪夫多项式为9阶时,结果基本上收敛为一致。表8为理论方法与有限元法得到的8层反对称悬臂层合壳的前6阶模态对比。从曲边固支层合壳的模态和频率的对比情况可以看出,理论计算方法与有限元法较为吻合。

表7 不同尺寸和铺层顺序的悬臂双稳态层合方壳的前6阶固有频率理论值与有限元结果对比

3.3 几何参数对固有频率的影响

双稳态层合壳的尺寸大小和铺层数量都会对固有频率大小产生影响,本文研究了非对称和反对称双稳态曲边固支层合壳在不同尺寸大小和铺层数量增加情况下的固有振动特性。使用表2中的材料参数,分别计算出铺层数量为4、6和8层,尺寸大小为0.3 m×0.3 m、0.35 m×0.35 m和0.4 m×0.4 m的非对称和反对称悬臂层合壳的固有频率,结果如图3、4所示。

图3 4,6和8层双稳态非对称曲边固支层合壳的前6阶频率

图4 4,6和8层双稳态反对称曲边固支层合壳的前6阶频率

从图3、4可以看出:同铺层类型的层合壳,固有频率随着层合板尺寸的增加而减小;随着铺层数量的增加,非对称层合壳固有频率增大,而反对称层合壳固有频率减小。特别值得注意的是,对于曲线边固支的双稳态层合壳,非对称铺设层合壳的固有频率大于反对称层合壳的固有频率。

表9展示了尺寸大小为0.3 m×0.3 m的不同铺层数量下非对称和反对称双稳态曲边固支层合壳前6阶模态。从表9可以看出,曲边固支的双稳态层合壳,不论非对称还是反对称,无论是弯曲振动还是扭转振动,其振动主要沿夹紧边方向发生。

表9 不同铺层顺序下双稳态曲边固支层合壳的前6阶模态

4 结束语

本文以一条曲边固支,其余三边自由为边界条件,对非对称和反对称双稳态复合材料层合壳的固有振动特性进行了研究。考虑几何非线性和固化温度差的影响,基于一阶剪切变形理论、最小势能原理和切比雪夫多项式研究了曲边固支非对称和反对称双稳态复合材料层合壳的频率和模态。

首先通过有限元方法获得双稳态层合壳的稳态构型,并与已有文献进行对比;然后将本文理论方法和有限元法以及已有文献进行了对比验证,并且给出了不同尺寸大小和铺层数量的非对称和反对称曲边固支层合壳的频率和模态;最后讨论了几何参数对曲边固支双稳态层合壳固有频率的影响。

结果表明:与直线边固支的模态振型为所有的弯曲振动沿自由边方向发生,而扭转振动沿固支边方向发生相反,对于曲边固支的双稳态层合壳来说,非对称铺设层合壳的固有频率大于反对称层合壳的固有频率,且无论是弯曲振动还是扭转振动,其振动主要沿夹紧固支边的方向发生。