抽丝剥茧 厘清概念

刘贞静

《体积与容积》是北师大版数学五年级的教学内容。这个内容是学生学习体积计算方法的基础，也是发展学生空间观念的重要载体。“体积”与“容积”是两个比较抽象且容易混淆的概念，教师应该先抓住“体积”展开教学。学生若仅从度量的角度认识体积是比较简单的，这与长度是单位长度的“拼接”、面积是单位面积的“覆盖”道理相同，即体积是单位体积块的“累加”。然而，这种靠直觉建立的概念表象并不能让学生对体积的本质——“所占空间的大小”获得深刻理解。

教学中，笔者抛开对概念关键词的解读，把教学重心放在引导学生利用已有认知理解概念的本质上，让学生经历概念的形成过程，有序建立体积和容积的正确表象，抽丝剥茧地厘清两者之间的关系，顺利完成由二维平面到三维空间的认知过渡。

一、寻找生活原型，感知“空间”

“体积”概念的表象指向“所占空间的大小”，其核心要素是正确理解“占空间”。如何让抽象的“空间”看得见、摸得着呢？笔者从学生的现实生活出发，引导他们借助已有的学习和生活经验，通过三个学习活动感悟物体占空间。

活动一：猜一猜，初步感知“空间”

课始，笔者出示装满石头的瓶子，并提问：“这个瓶子还能装水吗？”学生认为“可以再装水，因为石头之间有缝隙”，还有的学生提到了“瓶子里还有空间”。笔者顺势往瓶子里倒水，一边倒一边问：“还能装吗？”学生齐答：“还能装，因为瓶子里还有空间。”笔者继续倒水，水马上要漫过瓶口了。学生大声喊“停”，并说“瓶子里的空间已经被石头和水占满了，不能再倒了”。实验操作使抽象的空间形象化，倒水的过程加深了学生对空间大小的感知。

活动二：找一找，感知物体占空间

笔者让学生找一找生活中还有什么物体占空间，有意识地将学生的数学视野拓展到生活中。学生发现教室里、操场上、客厅内，甚至是宇宙中、显微镜下，各种物体都占空间。

活动三：摸一摸，对比理解“空间”

书桌抽屉触手可及，笔者让学生将双手轻轻放入抽屉中，通过摸一摸感受抽屉空间的大小，加深学生对无形的量的感知。学生通过观察、触摸、比画，充分感知到面是平平的、二维的，而空间是由面围成的，是立体的、三维的。通过面与体的对比，学生对空间的感知逐渐变得丰满。

二、重视体验探究，建构“体积”

体积与容积概念的建立不是记忆概念符号的过程，也不仅仅是积累直观表象的过程，而是概念意义的建构过程。在学生理解了所有物体都占空间后，笔者基于学生的已有经验分层预设，利用数学活动凸显概念本质，使学生对体积概念形成理性认知。

1.借助实物比较，抽象体积概念

五年级学生对“体积”有直观的认识，都能说出“西瓜大，苹果小”“西瓜占的地方（空间）大，苹果占的地方（空间）小”等。基于此，本环节的重点是让学生对体积的理解从基于生活经验的感性认识上升到基于数学语言的理性认知，理解“物体所占空间的大小叫作物体的体积”。课堂上，笔者先引导学生比较可以直接通过目测分辨体积大小的两个物体，再引导学生用数学语言描述比较的过程，强化学生对物体占空间且它们所占的空间有大有小的理解，从而凸显体积的本质。

2.经历体验探究，强化体积概念

本环节，笔者设计了两个有趣的操作活动：一是捏橡皮泥，二是掂一掂体积不同的石头和泡沫塑料，感受它们的质量大小。在活动一中，学生捏同样大小的圆柱形橡皮泥，有的学生捏出了球体，有的学生捏出了锥体，还有的学生捏出了“面片”，他们深切地感受到虽然橡皮泥的形状改变了，但其体积大小没有改变。在活动二中，学生发现石头重但体积小，泡沫塑料轻但体积大，所以不是体积大的物体质量就大，物体体积的大小与物体质量的轻重不是正相关的。这样的操作活动有助于学生积累活动经验，发展空间观念。

3.聚焦核心问题，内化体积概念

体积的教学要在体积所具有的特征上下功夫，力求帮助学生达成对体积概念的本质理解。在学生初步建立了体积概念的基础上，笔者设计了三次实验活动，让学生在自主探究中体会体积概念的内涵。

第一次实验，观察一个底面大但比较矮的长方体纸盒和一个底面小但比较高的长方体铁盒，比一比哪个盒子体积大？这个问题引发了学生的争论，有的学生认为纸盒的体积大，有的学生认为铁盒的体积大。通过实际对比两个盒子的长、宽、高，学生直观地发现纸盒的体积大，并真切地感受到比较两个盒子体积的大小，不仅要看它们的长度和宽度，还要看它们的高度。体积大小的辨析改变了学生已有的度量面积大小的方法和观念，凸显了体积的三维属性，为后续学习长方体体积的计算打下了基础。

第二次实验，比较不规则物体（红薯和土豆）的体积。学生以小组为单位进行实验探究，利用排水法把不规则物体的体积转化为可观测的体积，实现了体积在几何量上的“等量代换”。

第三次实验，学生自定单位，数出长方体体积的大小，化形为数，为后续学习体积单位奠定基础。课堂上，学生用小正方体搭建了两个不同的长方体。哪个长方体的体积大呢？学生讨论后一致认为，要比较两个长方体体积的大小，必须数出搭建它们所用的单位体积的个数，个数多的体积就大。然后，学生先分别数出两个长方体中每排的小正方体个数以及排数和层数，再通过计算分别得出搭建两个长方体所用的小正方体的个数。最后，学生汇报：搭建第一个长方体用了30个小正方体，搭建第二个长方体用了24个小正方体，所以第一个长方体的体积大。

三次实验的过程都是学生自主构思、亲身参与的，他们在真实情境中探究比较体积大小的方法，进一步内化了体积概念。

三、依托实践运用，厘清概念关联

笔者通过实践运用，把空间具象化、直观化，帮助学生去除体积与容积概念的非本质特征，厘清体积与容积概念的区别和联系。

1.巧借木盒，厘清关系

“体积”和“容积”都指“所占空间的大小”，两者有什么区别和联系呢？为了厘清两个概念的关系，笔者专门制作了一个多变的木盒，并设计了趣味游戏——木盒变变变。课堂上，笔者拿出木盒，把木盒的内壁加厚，并提问：大家观察木盒的变化，说一说什么变了，什么没变？学生兴趣高涨，很快发现木盒的容积变小了，体积没变。随后，笔者又把木盒的外壁加厚，并提问：“注意观察，这次木盒的什么变了，什么没变？”学生立即回答：“木盒体积变大了，容积没变。”学生通过观察木盒的体积和容积的动态变化，厘清了体积与容积的关系。

2.实践运用，深层辨析

笔者出示题目：“下面的各种说法，让你想到的是面积、体积还是容积？①这个水杯能装2升水；②这个水杯已经装了2升水；③这个杯垫太大；④这个杯子最大；⑤这个杯盖盖不住杯口。”笔者将面积、体积、容积的知识融合在对杯子的描述中，引导学生用数学概念解释常见的现象。学生依据所学内容，一一辨析上述说法：说法①让人想到水杯的容积；说法②让人想到水的体积；说法③让人想到杯子的底面積；说法④让人想到杯子的体积；说法⑤让人想到杯口圈出的圆的面积。这样的练习深化了学生对面积、体积、容积的区别理解。

（作者单位：宜昌市猇亭区教育教学研究室）

责任编辑  刘佳