浅谈圆锥曲线二级结论在教学中的应用

王明明

摘要：高中数学中圆锥曲线部分的教学，抽象性较强，计算量大，对学生综合能力的考查比较全面，对学生综合能力的培养有更高的要求。本文主要探讨的是：在圆锥曲线章节教学中渗透二级结论的应用，以提高学生的解题速度和解题能力。

关键词：高中 圆锥曲线 二级结论

圆锥曲线在高中数学当中属于一个重难点问题。选择填空题当中的圆锥曲线，一般考查的是概念问题和一些简单最值、中点、数形结合等，属于高考必拿分题，但实际上还有部分学生并不擅长，主要是这种题设计时技巧性强，而学生做题按做大题的思路去做，这样既耗时间，可能最后还算不出来，此时需要知道一些重要的二级結论，那么这些题就能很快解出来了，下面我先给出圆锥曲线的二级结论，再给出在实际问题的具体应用。

1.P为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上的任意一点，则[ΔPF1F2]的面积[S=b2?tan∠F1PF22，]，特别地 ，若[PF1⊥PF2]时，则[S=b2]

2.P为双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上的任意一点，则[ΔPF1F2]的面积[S=b2tan∠F1PF22]，特别地 ，若[PF1⊥PF2]时，则[S=b2]

3.在椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]存在点p，使得[PF1⊥PF2]成立的条件为[c≥b]，即椭圆的离心率范围为[22，1）]

4.斜率存在的直线与椭圆交于A、B两点，P是AB的中点，则有

当椭圆焦点在x轴上，[kAP?kBP=-b2a2，]当椭圆焦点在y轴上，[kAP?kBP=a2b2]

5.斜率存在的直线与双曲线交于A、B两点，P是AB的中点，则有

当双曲线焦点在x轴上，[kAP?kBP=b2a2，]当双曲线焦点在y轴上，[kAP?kBP=a2b2]

6.设[P（x0，y0）]是圆锥曲线上一点，则过点P的切线方程为

（1）椭圆：[xx0a2+yy0b2=1（a>b>0）]

（2）双曲线：[xx0a2-yy0b2=1（a>0，b>0）]

（3）抛物线方程为[y2=2px（p>0）]，则切线方程为[y0y=p（x+x0）（p>0）]

7.抛物线物线切线性质：物线线焦点的直线与抛线交于AB两点，过AB分别引抛物线抛物线的两条这两条切线的交点一定在抛物线物线的准线上若焦点在x轴上，则P点坐标为[（-p2，y1+y22）]

例1：设点P是椭圆C：[x2a2+y24=1（a>2）]上任意一点，点[F1，F2]是曲线C的左右焦点，且[∠F1PF2=60°]，则[ΔF1PF2]的面积为

解：由[SΔF1PF2=b2tanθ2=4×tan30°=433]

例2：已知椭圆[x2a2+y2b2=（a>b>0）]的左右焦点分别为[F1，F2]，左右顶点分别为[M，N]，过[F2]的直线[m]交椭圆于[A，B]两点（异于[MN]）且[ΔAF1B]的周长为[43]，且直线[AM]与直线[AN]的斜率之积为[-23]，则椭圆的方程为

[x][y][A][N][M][F1][F2]

解：[CΔAF1B=AF1+AB+BF1=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=43]

又[kAM?kBM=-b2a2=-23]，可得[a2=3，b2=2]

例3：已知曲线[C：x2=2y]，[D]为直线[y=-12]上的一个动点，过[D]点做曲线[C]的两条切线，切点分别为[A，B]，

[x][y][A][B][O]

求证：直线[AB]过定点

解：设[A（x1，y1），B（x2，y2），D（t，-12）]

则切线[AD]方程为：[x1x=y1+y]

则切线[BD]方程为：[x2x=y2+y]

有[AD，BD]都经过[D]点，则满足[tx1=y1-12tx2=y2-12]，所以[A，B]都在直线[tx=y-12]

即[AB]直线方程为[tx-y+12=0]，过定点[（0，12）]

例4：设抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点为[F]，其准线与[x]轴的交点为[Q]，过[F]点做直线与抛物线交于A，B两点，且[∠QBF=90°]，则[AF-BF=]

[x][y][A][F][B][Q]

解：记直线[AB]的倾斜角为[α]，则[AF=p1-cosα，BF=p1+cosα，]

由于[∠QBF=90°]，则[cosα=BFBQ=p1+cosαp]

化解得[cosα=1-cos2α]

[AF-BF=p1-cosα-p1+cosα=pcosα1-cos2α=p]

例5：已知点[M（-1，1）]和抛物线[C：y2=4x]，过曲线[C]的焦点做斜率为[k]的直线交曲线[C]于[A，B]两点，且[∠AMB=90°]，则[k=]

[x][y][A][O][F][B][D][M][C]

解：做[AB]的中点[O]，

设[A（x1，y1），B（x2，y2），O（x0，y0）]

做[AC]垂直于准线于[C]点，[BD]垂直于准线于[D]点，则由抛物线定义得，[AF=AC，BF=BC]，因为[∠AMB=90°，]

所以[M]在[AB]以为直径的圆上[OM=12AB=12（AF+BF）=12（AC+BD），]

又[O]为[AB]中点，所以[M]为[CD]的中点，则[OM//AC.]

则[O]点与[M]点纵坐标相同，则，即[y0=1]

又[k=py0=21=2]

圆锥曲线的二级结论较多，这里仅根据教学过程出现的题型得到部分二级结论，它的最大便利就是不用自己在推导中间的过程，极大减少了计算时间，但要将二级结论灵活运用，还是需要对圆锥曲线本身概念进行理解，因此二级结论只是我们解决圆锥曲线的一个工具，更重要是把基本概念理解，同时也要不断总结，很多方法结论正是在实践反思中得到的，所以在运用中还是要加强自己思维的训练，对基本知识的理解。