基于多层网络的空铁联运双层加权网络结构特性

徐凤 朱金福 陈丹

摘要：针对单层网络无法有效刻画空铁联运系统复杂结构的问题，将节点、连边及边权的异质性同时纳入考虑，提出一种基于多层网络的空铁联运双层加权网络模型。以东航空铁联运网络为例，从无标度特性、小世界特性、中心性和层间相关性4个方面实证分析了其结构特性。研究结果表明：东航空铁联运双层网络及其子网层均具有无标度特性和小世界特性；东航机场网络层的中心性突出，联运网络的中心性分布呈非均衡性；机场层与高铁层之间呈弱相关性，层间关系紧密度有待加强。东航空铁联运网络整体结构与联运功能良好，提高机场与高铁站的匹配度有利于提升空铁联运效率。

关键词：多层网络；空铁联运；加权网络；结构特性

中图分类号：    U113文献标识码： A

收稿日期：2021-10-14； 修回日期：2021-12-16

基金项目：国家自然科学基金（61903185）； 江苏省社会科学基金一般项目（21GLB009）；  南京工程学院智库研究项目重点课题（ZKYJA202202）

第一作者：徐凤（1981- ）， 女， 江苏徐州人， 博士， 副教授， 主要研究方向为复杂交通运输网络。

Structure Characteristics of Air-rail Double-layer Weighted Network Based on Multilayer Network

XU Feng^{1a， 2}， ZHU Jinfu²， CHEN Dan^1b

（1. a. School of Economics and Management， NanJing Institute of Technology， b. College of Automobile and Rail Transportation，  NanJing  211167， China;

2. College of Civil Aviation， NanJing University of Aeronauticsand Astronautics， NanJing  211106， China）

Abstract：In order to solve the problem that the complex structure of air-rail combined transportation system cannot be described effectively based on the single-layer network，  considering the heterogeneity of nodes， connecting edges and side weights， an air-rail double-layer weighted network model is proposed based on multilayer network. The structure characteristics of the air-rail network of China Eastern Airlines are empirically analyzed from four aspects： scale-free characteristic， small-world characteristic， centrality and interlayer correlation. The results show that both the air-rail double-layer network and its subnets have scale-free characteristics and small-world characteristics. The centrality of China Eastern Airport network layer is prominent， and the centrality distribution of air-rail double-layer network is not balanced. There is a weak correlation between airport layer and high-speed rail layer， and the tightness of the relationship between them needs to be strengthened. The overall structure and function of East-China Airlines air-rail network are good. It is conducive to improve the matching degree between airports and high-speed rail stations for improving the efficiency of air-rail. Key words： multilayer network; air-rail combined transportation; weighted network; structure characteristics

0 引言

空铁联运作为民航与高铁两大快捷运输系统协同的主要方式，为中国现代化综合交通运输体系的构建以及人们的高效出行发挥着重要作用。分析复杂而庞大的空铁联运网络结构，对于预测或优化空铁联运网络的系统行为具有重要意义。

目前，针对中国空铁联运网络结构的研究尚不丰富，但研究视角各异，包括复合网络视角、多层网络视角和超网络视角。徐凤等^[1]基于复合复杂网络视角，实证研究了空铁复合网络的拓扑特性和鲁棒性；杨新湦等^[2]提出构建中枢辐射式空铁复合交通网络。由于复合网络建立在单层网络空间中，异质性节点以及不同子网之间的交互关系均无法准确刻画。为克服单层复杂网络研究的不足，马夏夏等 ^[3]基于多层网络视角，将铁路-航空的非加权多层网络抽象为一个包含站点集、线路集和层集的三元组；王亚浩 ^[4]基于超网络视角，构建了包括城市间出行网络和城市内部换乘网络的非加权空铁联运超网络。尽管文献[3][4]的联运网络模型突破了单层网络的局限，但是由于未考虑边权，现实网络的部分关键信息被遗漏，使得网络特性仍然无法准确描述。因此，若同时考虑节点与连边的异质性以及异质性连边的权重，就能夠刻画出更加贴近现实的空铁联运网络。

近年来，多层网络是网络科学研究的新兴热点之一，其优点为突破了单层网络中节点和连边同质性的限制。多层网络最早由Mucha P J ^[5]和Buldyrev S V ^[6]提出，两位学者分别提出了多维型多层网络和依存型多层网络；随后，多层网络的结构与特性受到关注， De Domenico M^[7]研究了多层网络的结构可约性；Wu M C^[8]基于张量研究了多层网络的多中心性。国内研究相对侧重多层网络模型及其应用，张欣 ^[9]从概念、理论模型和数据三方面阐述了多层复杂网络的科学本质、理论瓶颈及应用；方锦清 ^[10]介绍了若干多层超网络的理论模型；马海瑛等^[11]建立了3种三层复杂网络演化模型，定量刻画了多层网络层间的依赖关系；卢文^[12]构建了层间随机连接，层内分别为ER-ER， BA-BA和BA-ER的3种双层超网络模型，并仿真实验了其双峰特性。目前，多层网络理论已经被应用在社会、经济、生物、交通运输等多个领域，并涌现出一系列有影响力的研究成果^[10]。本文将基于多层网络理论与方法，以空铁联运客运网络为研究对象，将航班频次和高铁车次作为边权纳入考虑，构建一种同时考虑节点、连边以及边权异质性的空铁联运双层加权网络模型，并结合中国东方航空公司的空铁联运数据，实证分析东航空铁联运网络的结构特性。

1 研究方法

1.1 多层网络与单个网络、超网络

网络科学是专门研究复杂网络的各种网络拓扑性质和动力学特性的定性与定量规律、以及网络控制与应用的一门新的交叉科学^[13]。单个网络、多层网络和超网络均属于网络科学的范畴。相对于多层网络，单个网络可以理解为单层复杂网络。除二分网（所有节点分为两部分，网络链接只产生于一个部分与另一部分之间）以外，在单个网络中，所有的节点和连边均是同质的。多层网络则考虑了多种类型节點及其连边关系，包括层内连边和层间连边^[14]。因此，多层网络是由多个单层复杂网络及层间连边组成。

多层网络不等同于超网络。超网络包括基于超图的超网络和基于网络的超网络两种，前者指可以用超图表示的网络^[15]，后者指网络中嵌套网络的大型网络、高于而又超于现存网络的网络^[16]。超图的一条超边可以连接多个节点，而普通图的一条边只能连接两个节点。多层网络中的单层网络是基于普通图构建的，层间节点按特定关系连边，多层网络的每条边仅连接两个节点。由此判断：多层网络不是基于超图的超网络；多层网络可视为基于网络的超网络中的一种特殊情形，但不等同于基于网络的超网络。

1.2 多层网络的表示方法

2 模型构建

2.1 构建说明

根据空铁联运的旅客出行过程，可将空铁联运分为航空出行段、高铁出行段和空铁换乘衔接路段。因此，基于多层网络构建的空铁联运网络可由机场网络层、高铁网络层及换乘节点的层间连边组成。构建网络的基本元素为节点与边，并考虑异质性连边的边权。为研究方便，将空铁联运双层加权网络的构建说明描述如下：

1）节点。网络中包括机场和高铁站两类异质性节点，位于同一城市的同类节点合并。如，上海虹桥机场和浦东机场合并为上海机场，高铁南京站与南京南站合并为南京高铁站。

2）边。网络中包括层内连边与层间连边。机场网络层中，有直航航班的两个机场节点间的连边；高铁网络层中，有高铁车次可以通达的两个高铁站间的连边；同一城市的机场节点与高铁站点相连接，为层间连边。

3）边权。由于交通流方式的改变发生在天对天的标度上^[17]，故取24 h内两节点间的航班或高铁的频次数作为层内连边的权重。层间连边的边权较为特殊，由于24 h内同一城市的机场与高铁站间可以通过多种交通方式在任意时刻实现任意频次的换乘衔接，因此，将层间连边的权重设定为M，M为一个相对较大的正值。

4）无向网络。空铁联运通常可以实现双向联运。因此，不考虑联运路线的方向，将机场网络层、高铁网络层和空铁联运双层加权网络均抽象为无向网络。

2.2 空铁联运双层加权网络的模型构建

3 结构特性指标与含义

3.1 节点度与点强度

3.2 平均路径长度

网络的平均路径长度L为所有节点对之间最短距离的平均值。若不考虑边权，节点对之间的最短距离d_ij是指从节点i到节点j需要经过的最少的边数；若考虑边权，d_ij是指连接节点i和j需要经过各边的权值之和的最小值。由于边的权重为航班频次或高铁车次，因此，在空铁联运双层网络中，不考虑边权的平均路径长度反映了从任意出发地到目的地的出行过程中空铁换乘的平均次数，可用于判断网络是否具有小世界特性；考虑边权值的平均路径长度则反映了能够通过空铁换乘从出发地到达目的的航班与高铁联运组合的平均数量。若网络的节点总数为N，平均路径长度的计算表达式为

3.3 集群系数

集群系数描述网络中节点的邻点之间也互为邻点的比例。为区别于多层网络层间连边集合符号C，这里集群系数用字符C′表示。加权网络中，节点i的集群系数定义^[19]为

3.4 中心度

中心度是刻画网络节点中心地位程度的度量指标。一般，无权网络的中心度包括度中心度、紧密中心度和介数中心度3种。加权网络中，连接某节点的所有边权值之和（即点强度）对其中心地位程度的影响不容忽视，因此，衡量加权网络的中心度还应考虑点强度中心度。如表1所示，4种中心度分别从不同侧面反映网络中节点元素的重要性，综合4种中心度则能够更加充分地衡量网络中心性。

3.5 层间相关系数

多层网络的层间连接越多，意味着层间关系越紧密。目前，多层网络不同网络层间的相关关系界定尚不统一，文献[20]中对加权多层网络层间相关系数的定义公式为

其中，w_Πij为网络层G_Π中节点对（i，j）间链接的权重；W_Π为网络层G_Π的总权重。在式（3）中，由于节点对（i，j）同时属于网络层G_Π和G_Π′，该式更适于不同网络层间均为相同节点的情形；且未考虑层间连边的边权。本文在其基础上加以改进，同时考虑不同网络层的异质性节点对及层间连边的边权，将加权多层网络不同网络层之间的相关系数定义为

4 东航空铁联运网络结构特性实证分析

作为中国三大航空运输集团之一，中国东方航空集团有限公司（简称“东航”）是中国航空公司推行空铁联运的先行者与杰出代表。2020年8月，东航集团与国铁集团合作的“空铁联运”产品升级，东航APP与12306APP全面对接，开启空铁联运数据共享，全国首次实现了“民航+高铁”一站式联订。分析东航空铁联运网络的结构特性，对于预测其他中小航空公司空铁联运网络的结构演变，以及控制或优化空铁联运网络系统行为有重要意义。

本文数据来源为中国东方航空公司官网、中国铁路12306官方网站及携程旅行官网。通过调研和统计，暂不考虑港澳台城市，截至2021年7月底，东航国内通航城市共计113个，且已开通全国257个城市（含县级市）经各中转枢纽前往东航国内各通航城市的双向空铁联运。本文所构建的东航空铁联运双层加权网络共由370个异质性节点和9 598条异质性连边构成，每条层内连边的权重为该边上可通行的航班数或高铁车次数。其中，机场网络层由113个机场节点和1 032条机场连边构成；高铁网络层由257个高铁站节点和8 521条高铁连边构成；另外，层间连边45条，这里将层间连边权重M取值500。上述所有异质性节点、连边及边权值均用邻接矩阵表示。

4.1 基于度与点强度分布的无标度特性分析

度與点强度分布反映空铁联运网络中节点的承载与运输能力，可用于判断网络是否具有无标度特性。通过分层拓扑分析，可以分别得到机场网络层、高铁网络层及空铁联运双层网络的度分布与累积度分布图，以及点强度分布与累积点强度分布图（见图1）。由图1可初步判断，东航空铁联运的机场层、高铁层及联运网络度分布与点强度分布整体上均服从幂律分布。

进一步绘制出度与点强度的双对数分布图（见图2），以更直观地说明其幂律关系。由图2可知，机场网络层的双对数图呈明显的线性关系，高铁网络层与空铁联运网络的双对数图均呈双段幂律关系，这表明机场网络层、高铁网络层及联运网络均具有无标度特性，体现为节点的度与点强度存在非均质性。结合现实，目前，东航机场网络层中仅有113个机场节点，且各机场的通航城市数量与运输能力存在不同程度的差异；高铁网络层中，目前纳入统计的高铁站为257个，各高铁站的通达城市数量与发车频次也存在差异；东航开展空铁联运，借助布局日益完善的高铁网络，使得原本通航范围有限且运输能力差异较大的机场网络功能增强。空铁联运能够一定程度上弥补单层机场网络与单层高铁网络在通达性与运输能力方面的不足，更便于满足旅客多样化的出行需求。

4.2 基于平均路径长度与集群系数的小世界特性分析

相较于同规模的随机网络，如果一个网络具有较小的平均路径长度和较大的集聚系数，则该网络具有小世界特性。将计算得到的平均路径长度与集群系数同规模（节点总数和连边总数相同）随机网络的相应指标进行比较，如表2所示。

由表2可知，与同规模的随机网络相比，机场网络层、高铁网络层及空铁联运双层网络均具有较小的平均路径长度和较大的集聚系数，说明其均具有小世界网络特性。东航机场网络的平均路径长度为2.106 8，集群系数仅为0.221 3；高铁网络层的平均路径长度仅为1.779 4，由于同一高铁线路上的站点之间全联通，因此，高铁网络层具有高集聚性且带有群落结构。东航开展空铁联运，联运网络的平均路径长度为2.012 8，表明旅客平均通过不到2次中转就能够从任一出发地到达目的地，这里的出发地和目的地具体到某城市的机场或高铁站。相较而言，联运网络的平均路径长度小于机场层，这是由于推行空铁联运后，东航借助目前不断完善的高铁网络，使得网络通达性增强了；联运网络的集群系数为0.446 2，显著高于机场层，这是由于联运网络囊括了高集聚性的高铁网络所致。

4.3 基于中心度的中心性分析

东航空铁联运网络的中心性可以通过中心度指标反映出来。分别计算东航空铁联运两层子网络的度中心度C_iD、点强度中心度C_iS、紧密中心度C_iC和介数中心度C_iB，为方便比较，将4种中心度指标值标准化后求和作为综合中心度。对两层子网及双层网络投影网络的综合中心度按从大到小的顺序进行排序，综合中心度指标值前20个节点如表3所示。

东航机场网络中，综合中心度最大值为4（上海机场），最小值为0.001 9（德令哈机场），平均值为0.442 8；综合中心度值均大于1的机场仅有6个，即排名前六位的上海、昆明、北京、西安、成都和南京机场。高铁网络层中，综合中心度最大值为3.410 7（重庆站），最小值为0.398 2（临高站），平均值为1.077 0。空铁联运双层网络中，综合中心度最大值为3.373 7（上海站），最小值为0.137 6（祁连机场），平均值为0.816 1。综合以上数据可以看出，东航机场网络层的中心性较为突出，具有强大运输能力和转运能力的机场主要集中在北上广一线城市和各省会城市；高铁网络层的中心性相对较低，这是由于高铁网络布局日益完善，拥有高频车次的高铁站点多而分散。联运网络的中心性分布呈非均衡性，中心度排名前20位的节点中仅有上海和昆明2个机场节点，其他均为高铁站节点。这表明东航通过开展空铁联运，能够借助高铁网络中心性强的重要节点实现联运旅客的有效中转与集散。

4.4 基于层间相关系数的层间相关性分析

多层网络的层间相关系数反映不同网络层间节点的匹配性与网络的连接紧密度。根据公式（3），计算得到层间相关系数为R_αβ=0.358 9，表明当前东航空铁联运双层网络的层间存在弱相关性，机场层与高铁层的节点匹配度不高，层间关系紧密度有待加强。

现实中，旅客出行需求是多样化的，便捷、高效、经济地出行是大多数旅客所期望的。民航与高铁是人们公认的两大快捷出行方式，然而民航容易受到恶劣天气、流量管控等影响，而高铁在中长途距离上的出行时间成本高于民航。对于旅客来说，最好的出行方式是可以灵活换乘，以应对不同情况变化的需求。空铁联运正是基于民航与高铁的互补性来满足旅客的多样化出行需求。目前，在东航空铁联运网络中，同时建有机场和高铁站的城市数为45个，而将机场与高铁建成一体化枢纽的城市仅19个。随着中国高铁网络的迅猛发展，同时建有机场与高铁站的城市将不断增多，机场和高铁一体化换乘枢纽也有望日益增多，因此，可以预测空铁联运双层网络的层间相关性将不断增强。

5 结论

将节点、边及边权的异质性同时纳入考虑，基于多层网络构建了空铁联运双层加权网络模型；以多層加权网络结构特性指标为切入点，以中国东方航空公司当前的空铁联运网络为研究对象，从无标度特性、小世界特性、中心性和层间相关性4个方面，实证分析了东航空铁联运网络的结构特性。主要结论包括：1） 东航空铁联运双层网络及其子网层均具有无标度特性和小世界特性。无论是机场层还是高铁层，少数节点往往拥有大量的连接；机场层的无标度特性明显强于高铁层。通过东航空铁联运网络，平均通过2次换乘就能从任一起始地到达目的地。2） 东航机场网络层的中心性较为突出，综合运输功能强大的机场少而集中；高铁网络层的中心性相对较低，运输和中转能力强大的高铁站多而分散；东航空铁联运网络的中心性分布呈非均衡性，重要中心节点中，机场节点数显著少于高铁站点数。3） 东航空铁联运双层网络的层间呈弱相关性。目前，东航的机场网络与高铁网络的节点匹配度尚不高，机场层与高铁层的层间关系紧密度有待加强。

综上，东航空铁联运双层加权网络的整体结构与联运功能良好，但是机场与高铁站的匹配度有待提高，以提高空铁联运的质量与效率。这一方面需要东航不断优化其航线及服务机场的布局，另一方面也有赖于中国综合交通枢纽的建设与发展。空铁联运双层加权网络是运用多层网络的构建方法建立进而分析的，这种网络的构建与分析方法可推广应用至其他三层及三层以上的社会经济网络，相关结论则可能因具体研究对象不同而不完全相同。

本文实证分析了东航空铁联运双层加权网络的基本结构特性，由于仅选取24 h内节点间的航班频次和高铁车次作为边的权重，因此，联运网络特性一定程度上反映了运输容量与运输频次，未涉及联运旅程时间和联运费用等问题。若后续研究中，考虑选取节点间的航班与高铁运行时间作为边权，或者选取节点间的航空与高铁出行费用作为边权，则能够进一步多角度分析空铁联运双层网络的现实特性，这也是后续值得深入研究的方向。

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（责任编辑 耿金花）