联合退相位噪声下量子囚徒困境纳什均衡分析

马思佳 张舒宁 王奕涵 张新立

摘要： 为讨论量子囚徒困境模型在联合退相位噪声信道影响下纳什均衡策略情况，将联合退相位噪声引入到量子博弈中，通过MW量子化方案对囚徒困境博弈模型进行量子化，建立了联合退相位噪声信道下的量子囚徒困境博弈模型。通过讨论发现，在最大纠缠的条件下，参与者的收益关于噪声参数呈现出周期性的变化，且在同一周期内，随着噪声参数的增长，量子囚徒困境在不同的噪声区间出现了存在唯一纯量子纳什均衡解、两个纯量子纳什均衡解和没有纯量子的纳什均衡解的情况，在没有纯量子均衡解的两个噪声区间中，参与者会陷入类似于石头剪刀布的循环之中。说明在联合退相位噪声信道影响下，当噪声参数属于特定噪声区间时，参与者可以达成纳什均衡。

关键词： 量子博弈论；联合退相位噪声；囚徒困境；纳什均衡

中图分类号： O413; O225文献标识码： A

收稿日期： 2021-10-24；修回日期：2022-03-29

基金项目： 教育部人文社科规划项目（21YJA630116）

第一作者： 马思佳（1997-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，主要研究方向为量子博弈及应用。

通信作者： 张新立（1970-），男，山东莘縣人，博士，教授，主要研究方向为量子博弈及应用。

Analysis of Nash Equilibrium of Quantum Prisoner′s Dilemma with Collective-dephasing Noise Channel

MA Sijia， ZHANG Shuning， WANG Yihan， ZHANG Xinli

（School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116029， China）

Abstract：To discuss the Nash equilibrium strategy of the quantum prisoner's dilemma model under the influence of collective-dephasing noise channel， will collective-dephasing noise is introduced into the quantum game back， by MW quantization scheme to quantization of the prisoner's dilemma game， and a prisoners dilemma game under the effect of collective-dephasing noise is constructed. It is found that under the condition of the maximally entangle， each players payoff function shows periodicity about the parameter of the noise. And in the same period， along with the increase of the noise parameter， there is the unique pure quantum Nash equilibrium， two different pure quantum Nash equilibriums， and no pure quantum Nash equilibrium in different intervals. In the two noise intervals without a pure quantum Nash equilibrium， players were caught in a rock-paper-scissors loop. It shows that under the influence of collective-dephasing noise channel， players can reach Nash equilibrium when the noise parameters are in a specific interval.

Key words： quantum game theory; collective-dephasing noise channel; Prisoner′s dilemma; Nash equilibrium

0 引言

量子博弈论是以量子信息论为工具研究博弈论的一门交叉学科，最早由Meyer［1］与Eisert等［2］对翻硬币和囚徒困境问题进行量子化处理时提出。Marinatto等［3］随后提出了通过密度矩阵将博弈量子化的方法，并通过这种量子化方法使得经典博弈中的多个纳什均衡解得到了统一。由于量子博弈能成功解决经典博弈论所不能解决的一些问题，故越来越受到学者们的关注，并被广泛应用于经济学、信息科学、生物学等诸多领域。目前，大多数学者都是在封闭系统下对相关模型的均衡解问题进行研究，而现实中没有任何量子系统完全孤立于外部环境，量子系统与周围环境很容易耦合，发生退相干现象，因此研究外部环境对量子博弈均衡解的影响具有重要意义。在所有经典模型中，囚徒困境作为最重要的模型一直备受关注，不同的学者从外部环境的不同视角对囚徒困境的退相干现象进行了探讨。Chen等［4］分析去极化、相位阻尼及振幅阻尼噪声这3种典型噪声对量子化囚徒困境的影响，得出在噪声特定的取值范围内，纳什均衡不会改变，但增加的噪声会使参与者的收益降低。Ramzan等［5］讨论了三人囚徒困境在去相位噪声信道中，使用量子策略的参与者较使用经典策略的参与者仍然具有优势，且参与者的收益是噪声参数的函数，随着噪声的增大而减小，而记忆的存在不会改变博弈的纳什均衡解，但参与者的收益会因记忆的存在而得到弥补。

在实际量子通信中，联合退相位噪声［67］作为一种常见的噪声信道表现形式而备受关注，吴贵铜等［8］提出3个可认证量子对话协议，分别用于抵抗联合退相位噪声、联合旋转噪声以及同时抵抗两种噪声；Ye［9］提出了任意两个逻辑Bell态和共享辅助逻辑Bell态之间纠缠交换的量子对话协议，该协议使用逻辑Bell态作为传输态抵抗联合噪声；Chang等［10］设计了联合噪声下基于GHZ纠缠态的量子对话协议，该协议提出了两种新的编码方式来抵抗联合噪声。

从上述文献不难看出，量子博弈建立之后，系统不可避免地与周围环境发生相互作用，退相干现象就会发生。一般地，退相干性现象通常引入退相干因子进行研究，而退相干因子的表示形式则由其选择的噪声信道来决定，并且满足酉变换条件。目前国内外很多学者把去极化信道、相位衰减信道、振幅衰减信道等形式引入到囚徒困境量子博弈中，对其进行研究，得出这些噪声信道与囚徒困境能够完全契合，对其收益及量子纳什均衡产生了不同程度的影响。而联合退相位噪声作为噪声信道的一种主要形式，也具有退相干因子所具有的酉变换性质，它对量子囚徒困境模型的收益及量子纳什均衡解造成怎样的影响，目前还鲜有学者进行研究。基于此，本文通过将联合酉噪声的一类特例联合退相位噪声以密度矩阵的形式引入到量子囚徒困境模型中，建立了联合退相位噪声下的量子囚徒困境模型，分析了联合退相位噪声在不同取值范围内对纳什均衡解的影响，为联合退相位噪声条件下的开放量子系统解决囚徒困境的均衡解提供了一定的决策参考。

1 联合退相位噪声条件下的量子囚徒困境模型建立

囚徒困境一般描述为：有两位嫌疑犯Alice与Bob被指控从事某项犯罪，被捕后对他们分别进行审问，每位罪犯在无法与对方沟通的情况下有两种策略可供选择：保持沉默（合作）或承认犯罪（背叛）。根据他们的选择策略，Alice与Bob得到各自的收益如表1所示。

根据纳什均衡的定义，双方选择背叛是一个纳什均衡，但双方互相合作是一个帕累托最优，因此陷入了个人理性与集体理性的矛盾困境中。

为解决此困境，本文建立联合退相位噪声下的两人囚徒困境量子博弈模型。带有联合退相位噪声过程的量子信息流如图1所示。

3 结语

本文研究了在最大纠缠的条件下，量子囚徒困境在联合退相位噪声的环境下参与者的纳什均衡策略变化情况，通过计算与研究发现，参与者的收益是噪声参数的函数，参与者的策略选择与噪声参数的取值密不可分，在不同噪声区间，博弈可能出现没有纯量子均衡解、存在唯一纯量子均衡解及存在两个纯量子均衡解的情况。在量子通信中，有许多学者开发出各种形式的量子对话协议，可以用来抵消量子信息在传输过程中受到的联合退相位噪声的影响，关于这些协议是否可以引入到量子博弈中，减少联合退相位噪声对量子博弈过程的影响，还需要我们进一步进行探索。

参考文献：

［1］MEYER D A. Quantum strategies［J］. Physical Review Letters， 1999，82（5）：1052-1055.

［2］EISERT J， WILKENS M， LEWENSTEIN M. Quantum games and quantum strategies［J］. Physical Review Letters， 1998， 83（15）： 3077-3080.

［3］MARINATTO L， WEBER T. Which kind of two-particle states can be teleported through a three-particle quantum channel［J］. Foundations of Physics Letters， 2000， 13（2）：119-132.

［4］CHEN L K， ANG H， KIANG D， et al. Quantum prisoner dilemma under decoherence［J］. Physics Letters A， 2003， 316（5）： 317-323.

［5］RAMZAN M， KHAN M K. Noise effects in a three-player prisoner′s dilemma quantum game［J］. Journal of Physics A Mathematical and Theoretical， 2009， 41（43）：1-11.

［6］ZHANG M H， LI H F， PENG J Y， et al. Fault-tolerant semiquantum key distribution over a collective-dephasing noise channel［J］. International Journal of Theoretical Physics， 2017， 56（8）：2659-2670.

［7］VENKATESH B P， JUAN M L， ROMERO-ISART O. Cooperative effects in closely packed quantum emitters with collective dephasing［J］. Phys Rev Lett， 2018， 120（3）： 1-6.

［8］WU G T， ZHOU N R， GONG L H， et al. Quantum dialogue protocols with identification over collection noisy channel without information leakage［J］. Acta Physica Sinica， 2014，63（6）：50-57.

［9］Ye T Y. Robust quantum dialogue based on the entanglement swapping between any two logical bell states and the shared auxiliary logical bell state［J］. Quantum Information Processing， 2015， 14（4）：1469-1486.

［10］ YANG C W， HWANG T. Fault tolerant quantum key distributions using entanglement swapping of GHZ states over collective-noise channels［J］. Quantum Information Processing， 2013， 12（10）：3207-3222.

（責任编辑 耿金花）