基于Kalman滤波解调的半球谐振陀螺全角控制方案及仿真

杨小龙, 马官营, 李建朋, 王琪伟

北京控制工程研究所, 北京100094

0 引 言

半球谐振陀螺(hemispherical resonator gyro, HRG)作为一种基于科氏振动效应的新型固体振动陀螺,具有结构简单、高可靠、长寿命和独特的抗辐射能力等特点,其在陆海空天等领域的导航定位系统中得到广泛应用[1-3].

半球谐振陀螺的控制方式主要可分为力平衡模式和全角模式两种[4-5].全角模式与目前主要使用的力平衡模式相比,最大的特点在于其速率积分特性.工作在全角模式下的半球谐振陀螺在外界载体发生转动时,其驻波振型在外界输入角速度的激励下可以自由进动.理想情况下,驻波振型的进动角度θ与载体实际转角φ之间满足

θ=kφ

(1)

其中,k为角度增益因子(约为0.3).载体的实际转角可根据半球谐振子驻波振型的进动角得到.全角模式在实现控制时由于不施加反馈力,因而具有较宽的测量宽带和较大的动态测量范围[6].

半球谐振陀螺处于全角模式下,半球谐振子驻波振型不再被约束在固定位置,而是处于自由进动状态,这使得全角模式控制中的信号处理和控制环路更为复杂[7-8].此外,半球谐振子的振型信号包含幅值、频率和相位信息,是实现全角控制和角度计算的基础.因此实现振型信号的高精度数字解算成为全角控制的关键所在,其解算精度将直接影响全角控制效果和角度检测精度.

LYNCH在文献[9]中提出了带有频率裂解和阻尼不均匀等非理想因素的半球谐振陀螺动力学模型,并给出了基于乘法相干解调的信号解调方案,实现了半球谐振陀螺的全角模式控制.在此基础上,后续学者进行了针对半球谐振陀螺全角控制的研究.文献[10]从理论上分析了全角模式的控制方法,使用乘法相干解调的方法提取谐振子的振型参数,采用参数激励的方法对陀螺进行驱动和控制.文献[11]针对PID控制下陀螺椭圆参数的控制精度和收敛快速性难以提升的问题,提出了将离散滑模控制引入到控制系统中的方法.文献[12]针对一种金属筒状科氏振动陀螺,提出了全数字控制技术方案,其中采用Kalman滤波方法对振动信号进行数字解算.

上述研究多集中于对控制环节进行改进,而在信号解调方法上基本沿用乘法相干解调方法,缺少新的数字解调方法的研究.

本文针对半球谐振陀螺全角控制方案及数字解调方法开展研究.以非理想半球谐振子动力学模型为控制对象提出一种半球谐振陀螺的全角控制方案.针对振型信号的高精度数字解算问题,提出一种基于Kalman滤波的数字解调方法.在此基础上搭建全角模式控制系统模型,对基于Kalman滤波解调的全角模式控制方案进行仿真实现,验证全角控制方案和数字解调方法的可行性.

1 半球谐振子动力学模型

半球谐振陀螺正常工作时,作为敏感结构的半球谐振子处于四波幅振动状态,谐振子的振动振型可以沿着相距45°的2个电极轴(X轴、Y轴)进行正交分解和合成[13].

1.1 理想半球谐振子动力学模型

全角控制下的半球谐振子在理想状态下的振动特性可以用二维简谐振动表示,如图1所示.其中,a表示半球谐振子的主振型振幅;q表示谐振子的正交振型振幅,其在理想情况下趋于0;2θ表示主振型波腹轴与0°电极轴(X轴)的夹角;φ0表示驻波振型的初始相位;ω表示谐振子处于四波腹振动状态下的谐振角频率.

图1 半球谐振子振动特性

上述变量都是规范变量,完整清晰地表征了半球谐振子驻波振型的特征.理想状态下,半球谐振子的动力学模型可表示为[14]

(2)

式(2)中,x和y表示谐振子2个正交模态的振动位移,Ω是外界载体输入角速度,fx、fy分别表示施加在0°和45°电极轴的作用力.据此,可以得到在X方向上和Y方向上的振动位移信号

(3)

1.2 非理想半球谐振子动力学模型

实际上,由于半球谐振子存在各向异性,因此理想的半球谐振子并不存在.在式(2)的基础上,给出带有频率裂解和阻尼不均匀等非理想因素的半球谐振子动力学模型

(4)

式(4)中,C和K分别表示半球谐振子的阻尼矩阵和刚度矩阵,可表示为

(5)

式(5)中:ω2=(ω12+ω22)/2,ωΔω=(ω12-ω22)/2;ω1、ω2分别为两主振型的谐振频率,由于不理想的半球谐振子存在频率裂解,因此两主振型的谐振频率不一致;2/τ=(1/τ1+1/τ2),Δ(1/τ)=(1/τ1-1/τ2);τ1、τ2为两阻尼轴的时间衰减常数;θω是频率最小轴与驻波方位角的夹角,θτ是阻尼最小轴与驻波方位角的夹角.

2 半球谐振陀螺全角控制方案

由于全角模式控制下的半球谐振子驻波振型处于自由进动的状态,因此全角控制的目的在于维持驻波振型在实时进动过程中的稳定并解算出实时进动角度[15-16],需要完成以下控制:

1)维持主振型振幅a为一设定值a0.

2)促使正交振型振幅q到0.

3)使参考信号的频率与相位φ同步跟踪到谐振子的谐振频率与初始相位φ0.

4)获取振型进动角θ.

根据以上要求,给出一种半球谐振陀螺全角模式控制方案,如图2所示,其中主要包括:数字解调、参数解算、幅度控制环路、正交控制环路、频相控制环路、角度解算、信号调制和驱动重构.

图2 HRG全角控制方案示意图

2.1 信号解调

在相距45°的2个电极轴方向上,通过电容/电压转换电路获取半球谐振子振动时的驻波振型信号.由于得到的振型信号耦合了振动幅度、频率和进动角度等信息,需要通过解调方法对其进行数字解调.

采用锁相环(PLL)作为外部参考信号发生器以跟踪半球谐振子的振动,振型输出信号与参考信号的同相部分和正交部分分别在X,Y方向上的分量为Cx、Sx、Cy、Sy,可表示为

(6)

上述同相分量和正交分量可以通过对驻波振型信号进行解调获得,是振型的直接检测量.

2.2 参数解算

对获取的解调结果进行组合运算,得到半球谐振陀螺谐振状态参数,如式(7)所示.根据理想的无阻尼二维简谐振动运动方程,还可以得到振型检测量和振型规范量之间的关系

(7)

式(7)中,δφ=φ-φ0.

在此基础上,得到半球谐振子驻波振型的规范变量

(8)

2.3 控制环路

(1)幅度控制环路

半球谐振陀螺在正常工作时需要通过施加持续不断的激励以维持主振型振幅不衰减.幅度控制环路采用参数a作为控制判断量,并将a与振幅设定值a0进行比较,得到的误差信号作为PI控制器的控制信号.

(9)

(2)正交控制环路

正交控制环路用于抑制各向异性引起的谐振子正交误差.正交控制环路采用参数q作为控制判断量,通过PI控制器将其控制到0.

(10)

(3)频相控制环路

频相控制环路用于实时跟踪谐振子的谐振频率及初始相位,并利用锁相环产生同频同相的参考信号,实现半球谐振陀螺检测信号解调和驱动信号的调制与重构.频相控制环路采用参数L作为控制判断量,通过PI控制器将其控制到0.

(11)

(4)角度解算

全角模式下,由S、R参数根据式(12)可直接计算出半球谐振子驻波振型的进动角.

(12)

2.4 信号调制与驱动重构

根据式(9)～(12)可得各控制环路的控制参数及振型进动角,通过正交分解将控制作用分别分解到两电极轴上,同时将该控制信号与谐振子谐振频率进行调制,得到重构的驱动作用为

(13)

3 基于Kalman滤波的数字解调方法

从图2可以看出,HRG全角控制方案的关键在于对驻波振型输出信号进行数字解调以获得振型的直接检测量.因此开展振型信号的数字解调方法研究具有重要意义.

3.1 Kalman滤波基本原理

设系统的离散状态方程和量测方程可写为[17]

(14)

式(14)中,x(k)为n维状态向量,z(k)为m维量测向量,Ф为n×n状态变换矩阵,Γ为n×l系统噪声分配矩阵,H为m×n量测矩阵,w(k)是协方差为Q(k)的l维系统噪声,v(k)是协方差为R(k)的m维量测噪声,两者均为零均值的不相关高斯白噪声,且它们之间互不相关,其统计特性满足[18]

(15)

Kalman滤波主要包括预测和校正2个步骤[19]:

(1)预测:根据当前时刻的系统状态推算下一时刻的状态变量和协方差矩阵.

①状态预测

(16)

②误差协方差矩阵预测

P(k|k-1)=Φ(k,k-1)P(k-1|k-1)

ΦT(k,k-1)+Γ(k,k-1)Q(k-1)ΓT(k,k-1)

(17)

(2)校正:结合观测的结果与预测推算的结果获得系统的最优估计.

①计算Kalman增益

K(k)=P(k|k-1)HT(k)·

[H(k)P(k|k-1)HT(k)+R(k)]-1

(18)

②状态校正

(19)

③状态误差协方差更新

P(k|k)=[I-K(k)H(k)]P(k|k-1)·

[I-K(k)H(k)]T+K(k)R(k)KT(k)

(20)

3.2 基于Kalman滤波的数字解调方法

根据第2节内容,半球谐振陀螺的振型输出信号为

g(t)=Ccos(ωt)+Ssin(ωt)+n(t)

(21)

其中,g(t)为HRG的振型输出信号,C为HRG振型输出信号中同相分量的幅值,S为HRG振型输出信号中正交分量的幅值,n(t)为控制系统的噪声项,ω为HRG处于工作模态下的谐振角频率.

数字解调的目的是将HRG振型输出信号中的同相分量C和正交分量S提取出来用于后续控制系统进行参数解算.Kalman滤波解调的核心在于根据系统模型建立HRG控制系统的状态空间方程.根据文献[13]的分析,在实际应用中,外界输入角速度信号的变化频率远低于HRG的驱动频率,因而可以假设在2个相邻的时间间隔内,外界输入角速度基本保持不变,此时振型输出信号的变化仅靠系统的噪声项驱动[13].

根据前述假设,可以建立HRG控制系统的离散状态空间方程为

(22)

式(22)中,

其中:x(k)为HRG振型输出信号的同相分量幅值和正交分量幅值C和S;z(k)为系统的量测向量;H(k)为系统的解调参考信号;w(k)为系统状态方程的白噪声,在本系统中表征角速度的细微变化;v(k)表示系统观测的白噪声.

根据前述Kalman滤波的基本原理,可分别解算出HRG振型输出信号的C和S.解调公式如下:

(23)

式(23)中:Q表示系统激励噪声的协方差矩阵,是由于外部干扰产生;R表示观测噪声的协方差矩阵.在本文中,Q、R的选取是综合控制系统的输入角速度、带宽、解算精度的结果.

4 仿真验证及分析

为验证本文提出的数字解调方法及全角控制方案的有效性,根据非理想半球谐振子动力学模型和全角模式控制方案,搭建HRG全角控制系统仿真模型[20],如图3所示,包括:非理想半球谐振子动力学模型、数字解调模块、组合计算模块、控制回路模块、信号调制与驱动重构模块.

图3 HRG全角控制系统仿真模型

表1列出了用于验证所提出的Kalman滤波解调方法和全角控制方案的仿真参数.

表1 仿真参数设置

根据全角控制方案,当控制系统稳定时,将谐振子主振型振幅a稳定控制在振幅设定值a0附近,正交振型振幅q则抑制到趋近于0.结合式(3)及式(7)可知,控制系统达到稳态时,在无外界角速度输入(即Ω=0)的情况下,振型信号同相分量幅值Cx、Cy理论上为一常值,正交分量幅值Sx、Sy理论上为0;当有外界角速度输入时,振型信号同相分量幅值Cx、Cy则表现出与外界输入角速度有关的正弦规律变化,正交分量幅值Sx、Sy仍为0.

仿真时以常用的角速度为参考,给定外界输入角速度Ω,设定在5 s时由0阶跃为5(°)/s.

各控制环路控制参数变化如图4所示,各控制参数均通过归一化处理.由图4可知,控制系统通过幅度、正交、频相3个环路的控制,达到稳态.谐振子主振型振幅a稳定控制在振幅设定值a0附近;正交振型振幅q抑制到趋近于0;频相控制环路控制判断量L控制在0附近.仿真结果表明控制系统实现控制目标.

图4 各环路控制效果

图5给出了基于Kalman滤波的数字解调结果.控制系统经过控制后达到稳态,在无外界角速度输入时(即Ω=0),Cx、Cy保持在a0附近,而Sx、Sy则被抑制到0.在5s时,采用阶跃信号输入角速度,解调出的Cx、Cy呈正弦规律变化,且幅值为a0;Sx、Sy始终保持为0不变.仿真结果与前述理论分析一致,验证了该解调方法的正确性.

图5 数字解调结果

图6(a)给出了控制系统在5(°)/s外界输入角速度下的角度解算响应曲线.对非理想半球谐振子,其驻波进动角度θ与外界输入角速度Ω之间满足

(24)

当控制系统稳定时,根据图6(a)计算出角度增益因子k=0.3,与给定的仿真参数一致.

将控制系统的输出由角度解算转换为角速度解算,其响应曲线如图6(b)所示.仿真结果显示,控制系统角速度解算的时间小于0.1 s.

图6 解算结果

图7给出了控制系统在0.1(°)/s、1(°)/s、10(°)/s,100(°)/s外界输入角速度下的系统角速度解算响应曲线.可以发现,在外界输入角速度大范围变化时,控制系统都能较快且稳定解算出外界输入角速度.

图7 不同外界输入角速度下的角速度解算结果

图8给出了控制系统的输入—输出曲线,将解算出的系统解算角速度与对应的外界输入角速度曲线进行线性拟合,得到标度因数为1.000 0.

图8 外界输入角速度与系统解算角速度关系图

上述仿真结果和分析验证了本文提出的基于Kalman滤波的数字解调方法和全角控制方案是有效的,具有可行性.

5 结 论

本文对半球谐振陀螺全角控制方案及数字解调方法开展研究,以非理想半球谐振子动力学模型为控制对象,给出一种半球谐振陀螺全角控制方案.在控制系统中提出了一种基于Kalman滤波的数字解调方法,实现对振型信号的数字解调.仿真结果表明,基于Kalman滤波的数字解调方法能实现对振型信号的快速准确解调,各控制环路在较大外界输入角速度范围下都能实现稳定控制及角度解算.从而验证了本文基于Kalman滤波解调的半球谐振陀螺全角控制方案的可行性.