一类模群到亚循环群的同态个数

王知真，郭继东，b

(1.伊犁师范大学a.数学与统计学院；b.应用数学研究所，新疆伊宁 835000)

0 引言

在文献[1]中，Frobenius 给出：设Cn为n阶循环群，G是有限群，则Cn到有限群G的同态个数满 足 | Hom(Cn，G)|≡0(m od (n，|G|))，其 中，(n，|G|)表示n与|G|的最大公因数.1993 年，T.Yoshida 在文献[2]中推广了Frobenius 定理，将循环群换成了有限交换群.同一年T.Asai 和T.Yoshida 在文献[3]中提出了如下猜想：

对任意有限群A和B，均有

其中，A′是A的换位子群.

文献[4—9]分别计算了二面体群D2n、拟二面体群QD2n、Sylowp-子群为循环群的10pn阶非交换群G10pn、模群Mpm等群间的同态个数.对于pm阶模群到2nq阶亚循环群的同态个数目前未见相关文献报道.本文具体计算这两类群的同态个数，并验证其满足T.Asai 和T.Yoshida 猜想.

由文献[4]知：称Mpm为pm阶的模群(p为素数，m≥3 为正整数)，如果

由文献[8]知：称Gn，2q为2nq阶亚循环群(q为奇素数，n为正整数)，如果

本文中所考虑的Mpm和Gn，2q都是有限群，(u,v)表示整数u与v的最大公因数，[u,v]表示整数u与v的最小公倍数，φ表示Euler 函数.

1 预备知识

引理1设Mpm为pm阶模群，则

证明任取，由换位子群的定义知

引理3设Gn，2q为2nq阶亚循环群，则

证明因为ab=ba-1，所以有aib=ba-i，进而有

因此引理3 成立.

引理4[8]设Gn，2q为2nq阶亚循环群，则

特别地，若j=q，则∘(aibj)=2；若j≠q，则∘(aibj)=2q.

引理5[10]设G和是两个有限群，Hom(G,)是G到的所有群同态构成的集合.则任取g∈G和θ∈Hom(G,)，恒 有∘(gθ)| ∘(g)，其中∘(g)是g在G中的阶，∘(gθ)是gθ在中的阶.

2 主要定理及其证明

定理2.1设p为素数且p=2，m≥3 为正整数，则

当2∤n时，下面按4 种假设来证明：

假设2.1.1 设θ：M2m→Gn,2q(x→1,y→1)，则θ为群同态.

显然，此时θ为平凡同态，所以此时群同态θ只有一种选择.

假 设2.1.2 设θ：M2→mGn,2q(x→akbq,y→aibq)，其中0 ≤k,i

可得ai-k=ak-i，所以(ai-k)2=1，解得i=k.

故θ为群同态，所以此时群同态θ有n种选择.

假设2.1.3 设θ：M2m→Gn,2q(x→1,y→aibq)（0 ≤i

证明与假设2.1.2 类似，此时群同态θ有n种选择.

假设2.1.4 设θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→1)，其中0 ≤k

证明与假设2.1.2 类似，此时群同态θ有n种选择.

当2|n时，也按下面4 种假设来证明：

假 设2.1.5设θ：M2m→Gn,2q(x→ak,y→ai)，其中0≤k,i

另一方面

从而

故θ为群同态.

假设2.1.6 设θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→aibq)（0 ≤k,i

另一方面

当t1≡0(mod 2)或s2≡0(mod 2)时，显然

当t1≡1(mod 2)与s2≡1(mod 2)时，因 为(ai-k)2=1，所以

从而

故θ为群同态.

因 为yθ有2 种选择，从而xθ有n种选择.所以此时群同态θ有2n种选择.

假设2.1.7 设θ：M2m→Gn,2q(x→ak,y→aibq)（0 ≤k,i

证明与假设2.1.6 类似，此时群同态θ有2n种选择.

假设2.1.8设θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→ai)（0 ≤k,i

证明与假设2.1.6 类似，此时群同态θ有2n种选择.

定理2.2设p为奇素数且p=q，m≥3 为正整数，则

当q∤n时，有如下假设：

假设2.2.1 设θ：Mqm→Gn,2q(x→bl,y→bj)（0 ≤l,j

故θ为群同态.所以此时群同态θ有q2种选择.

当q|n时，有如下假设：

假 设2.2.2 设θ：Mqm→Gn,2q(x→akbl,y→aibj)（0≤k,i

另一方面

从而

故θ为群同态.

定理2.3设p为奇素数且p≠q，n≥3 为正整数，则

当p∤n时，有∘(xθ)|1，∘(yθ)|1，由Gn,2q中 元素的性质可知

当p|n时，有∘(xθ)|(pm-1,n)，∘(yθ)|p，由Gn,2q中元素的性质可知

当p∤n时，有如下假设：

假设2.3.1 设θ：Mpm→Gn,2q(x→1,y→1)，则θ为群同态.

显然此时θ为平凡同态，所以此时群同态θ只有一种选择.

当p|n时，有如下假设：

假 设2.3.2 设θ：Mpm→Gn,2q(x→ak,y→ai)（0 ≤k,i

故θ为群同态.

下面对定理2.1—2.3 的结论验证T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.4设p为素数且p=2，m≥3 为正整数，则

证明由引理2 知 |M2m/M′2m|=2m-1，易知亚循环群|Gn,2q|=2nq.

由定理2.1 知，当2∤n时，

即M2m到Gn,2q的同态个数满足T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.5设p为奇素数且p=q，m≥3 为正整数，则

证明由引理2 知 |Mqm/M′qm|=qm-1，易知亚循环群|Gn,2q|=2nq.

由定理2.2 知，当q∤n时，

即Mqm到Gn,2q的同态个数满足T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.6设p为奇素数且p≠q，m≥3 为正整数，则

由定理2.3 知，当p∤n时，

当p|n时，

即Mpm到Gn,2q的同态个数满足T.Asai &T.Yoshida 猜想.