初中数学课堂教学评一体化教学的实践与探索——“二次根式”的教学案例

文| 张艳玲

在教育领域，教学评一体化越来越受到关注。它强调教学的目标、实施和评价应相互关联、相互促进，形成一个完整的教学体系。“二次根式”作为数学中的重要概念，其教学也应遵循这一理念。通过明确教学目标，我们可以有针对性地组织教学，确保学生能够掌握必要的概念和技能。

一、教学目标

☆学生能够理解二次根式的定义，掌握其基本性质和运算规则。

☆通过实际情境和问题解决，培养学生的数学思维和应用能力。

☆激发学生对数学的兴趣，培养他们积极探索和合作学习的精神。

二、教学步骤

（一）导入新课

教师：同学们，今天我们将一起探索二次根式的奥秘。在开始之前，我想先通过一个大家都熟悉的场景来引入这个概念。想象一下，如果我们学校要建一个新的篮球场，而这个篮球场的形状是一个长方形，它的面积是400 平方米。现在，学校想把这个篮球场均匀地分成四个相同的小篮球场，每个小篮球场也是长方形。那么，每个小篮球场的面积是多少？它的长和宽又分别是多少呢？

学生A：每个小篮球场的面积就是大篮球场面积的四分之一，也就是100 平方米！

教师：非常棒，A 同学！那么，如果我们知道每个小篮球场的面积是100 平方米，但我们不知道它的长和宽，只知道它的长是宽的2 倍。那么，我们该如何表示它的长和宽呢？

学生B：这个是不是要用到二次根式啊？

教师：没错，B 同学！这就是我们今天要学习的二次根式的应用。如果我们设小篮球场的宽为x 米，那么它的长就是2x 米。根据面积公式，我们可以得到方程x×2x=100，也就是2x2=100。通过解这个方程，我们就可以得到x 的值，也就是小篮球场的宽，而长是宽的2 倍。

教师：现在，请大家翻开课本，我们一起来学习如何解这个方程，求出小篮球场的长和宽。通过这个例子，大家可以看到，二次根式不仅在数学题中经常出现，而且在我们的日常生活中也有很多实际应用。无论是计算篮球场的长和宽，还是解决其他类似的问题，二次根式都能帮助我们找到答案。

（二）新课学习

教师：首先，我们要学习二次根式的定义。二次根式，顾名思义，就是形如的数学式子，其中a必须大于或等于0。如=3，姨 2 5=5，这些就是二次根式的例子。

学生：老师，我不太明白这个定义，可以再解释一下吗？

教师：当然可以！其实，二次根式就是一种特殊的数学表达式，它的形式是，其中a 是一个非负数。

学生：哦，我明白了！

教师：非常好！那么接下来，我们要探索一下二次根式有哪些有趣的性质。比如说，你们知道×等于什么吗？

教师：非常棒！这就是二次根式的一个重要性质。其实，二次根式还有很多有趣的性质，比如，被开方数必须是非负数。这个性质非常重要，因为它决定了二次根式的存在性和合法性。

学生：原来如此，我明白了。

教师：很好！我想知道大家是否已经掌握了这些知识呢？这就需要我们的形成性评价出场了。我会出几道题目让大家做，通过你们的答案，我就能知道你们是否真正理解了二次根式的定义和性质。同学们，准备好接受挑战了吗？

学生：准备好了，老师！

（三）应用实践

教师：学习了二次根式的定义和性质，现在我们把这些知识应用到实际生活中去！想象一下，我们有一个正方形的花园，它的对角线长度是10 米。我们想知道这个花园的面积是多少。

学生A：面积=边长×边长，但是我们不知道边长是多少。

教师：对！我们不知道边长，但我们知道对角线的长度。在一个正方形中，对角线与边长的关系可以用勾股定理来表示，对角线的长度为d，边长为a，则d2=a2+a2。这就会涉及二次根式的计算，因为我们需要解这个方程来求出边长。

教师：非常棒！我们刚刚已知对角线d 是10 米，那么边长，也就是。现在我们可以计算面积了。

教师：太好了！这就是正方形花园的面积。通过这个例子，大家看到了如何使用二次根式来解决实际问题。现在，我们要进行分组活动。每组都需要选择一个与二次根式相关的实际问题，并尝试解决它。

随后，学生开始分组并选择问题。教师巡视各组，给予必要的指导和建议。

教师：时间到了，各小组都做得不错。现在我们来分享一下答案和思路。

各小组代表分别上台分享他们的答案和思路。教师和其他学生给予评价和建议。

教师小结：通过这堂课，大家不仅巩固了二次根式的知识，还学会了如何将其应用到实际生活中。比如，学校想要建一个篮球场，我们应怎样计算它的面积呢？

学生A：老师，直接用长乘以宽不就可以了吗？

教师：当然可以，这是最直接的方法。但如果我们想用二次根式来表示呢？假设长为28 米，宽为15米，我们可以把这两个数看作是某个数的平方根。

教师：没错，虽然这样表示在实际计算中没什么必要，但它展示了二次根式的另一种应用方式。实际上，面积还是28 米乘以15 米，即420 平方米。

学生C：所以，二次根式在这里其实没有简化计算，但它给了我们另一种思考方式。

教师：正是如此。二次根式不仅用于解决特定的数学问题，还能帮助我们从不同的角度看待问题。我们再来解决一个实际问题，想象一下，你是一位园艺师，需要为一个正方形的花坛设计围栏。

学生Q：老师，我们需要知道花坛的一边有多长，才能算出围栏的长度。

教师：没错。但实际上，客户给的信息是花坛的面积，而不是边长。假设花坛的面积为A 平方米，那么每一边的长度，也就是围栏的一段，就是面积的平方根，即米。

学生R：啊，我明白了！因为正方形的面积是边长的平方，所以边长就是面积的平方根。

教师：正是如此。但是，出于对围栏的支撑和美观考虑，客户要求围栏的顶部要有一个宽度为h 的横梁。这个横梁的长度和正方形的边长一样，也是米。

学生S：老师，如果我们知道横梁的宽度h，怎么计算它所需要的额外材料长度呢？

教师：很好的问题。横梁虽然宽度为h，但由于它是沿着围栏的顶部放置的，所以它的长度实际上和正方形的边长一样，也就是米。因此，每一边的围栏除了本身的米高度外，还需要额外的米长度的横梁材料。

学生T：哇，这样我们就可以算出整个围栏所需的材料长度了！

学生U：我明白了！二次根式不仅在数学题中有用，还可以帮助我们解决生活中的实际问题！

教师：没错。二次根式在实际生活中有很多应用，只要我们善于发现和运用数学知识，就能更好地解决生活中的问题。

（四）小组交流

教师：接下来，我们进行小组交流。每组有5 分钟的时间，选择一个与二次根式相关的实际问题，并分享你们的解题思路和计算过程。

各小组开始热烈讨论，教师巡视并参与各小组的讨论。

（小组展示略）

教师总结：今天的课程中，我们不仅学习了二次根式的知识，更重要的是学会了如何将这些知识应用到实际生活中。希望大家能够继续保持这种学习态度和方法，在未来的学习和生活中更加出色。

核心知识点总结：

二次根式的概念：二次根式是一种数学表达形式，表示一个数的平方根。它的一般形式为（a≥0），其中“”称为根号，表示被开方数。

二次根式的性质：

非负性：被开方数必须是非负数，即a≥0。

二次根式的运算方法：

开方运算：利用二次根式的性质，求出某个数的平方根。

二次根式的实际应用：通过实际问题中需要开平方的情况，理解二次根式在实际中的应用和意义。

三、作业布置

（一）基础层次作业

1.计算下列各式的值。

2.化简下列二次根式。

3.求解下列方程。

（二）提升层次作业

1.计算下列各式的值，并说明其实际意义。

2.化简下列二次根式，并解释其数学意义。

3.求解下列方程，并解释其实际背景。

（三）挑战层次作业

结合实际生活，设计一个与二次根式相关的问题，并尝试解决它。例如，计算篮球场的面积、计算物体的体积等。请详细记录你的思考过程和计算结果，并与其他同学分享。

四、教学反思

在完成二次根式这一章节的教学后，我进行了深入反思。首先，我需要将评价融入教学设计。通过设置小组讨论、个人展示和课堂小测验等评价环节，可以及时了解学生的学习情况，并据此调整教学方法和策略。其次，我意识到教学方法和策略的有效性对学生学习效果有直接影响。因此，在未来的教学中，我将采用分层教学、小组合作等多元化的教学方式，以满足不同学生的学习需求。