深化联系 生成自然 学会学习——以一节省优秀课的教学思考与实践为例

潘长青 宋彦波 (江苏省连云港市新海实验中学 222000)

2022年4月下旬,教育部颁布了新版义务教育数学课程标准(下称2022版),与2011版课标相比,新增了2个基本尺规作图,更加重视作图依据和原理,突出了尺规作图的工具性、应用性与探究性.所谓尺规作图,是指用无刻度的直尺和圆规进行作图.纵览现行的教材,对于尺规作图的内容呈现方式多采用程序性操作,这导致教师在日常教学中往往直接告知学生作图步骤,然后当作一种技能反复练习,很少有机会让学生探索分析作图的原理,导致学生对“为什么这么作”缺乏深层次的认知.笔者认为,特别在尺规作图教学的起始阶段,更应注重探索的过程,要让学生能够感受到尺规作图的来路、思路及出路,充分体验到探究的过程与乐趣,积累数学活动经验,并以此为载体将核心素养落地生根.下面笔者将结合“用尺规作一个角等于已知角”教学片段来呈现其探索过程,并就教于同行.

1 数学学科核心素养的有效载体之一:尺规作图

从立足学生数学核心素养发展的角度来看,尺规作图内容蕴含了培养学生几何直观及推理能力等学科核心素养,它们对培养学生的数学思维能力和品质具有极其重要的价值.

(1)几何直观．2022版新课程标准明确指出[1]:几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯.数学家阿蒂亚曾说:“在几何中,视觉思维占主导地位.”也就是说,学习几何知识、解决几何问题,离不开空间想象和直观洞察.事实上,尺规作图的实质[2]就是用图形来解决和表达几何问题或数量关系问题,既需要直观洞察和空间想象能力,又能培养直观洞察和空间想象能力.

(2)推理能力．尺规作图是锻炼学生推理能力的良好平台.尺规作图既需要推理能力,又能培养推理能力,还能培养学生严谨细致的学习习惯,可谓一举多得.不仅要思考怎么作,而且要寻求为什么这样作.而作出符合要求的图形后,往往会再往前走一步,思考有没有更优的画法.这些想法的背后就凸显出学生“四基”水平如何,学生“三会”维度在何层次上.

2 渗透核心素养的教学实践片断与分析

站在落实立德树人、发展学生素养的角度,基于对尺规作图教学的认识和理解,结合学生的生活和数学学习,在2021年10月江苏省初中数学优秀课比赛时笔者对苏科版教材七年级上册“6.2角(2)”一节进行了教学设计与课堂实践,并最终荣获省一等奖.这节课教学的难点是如何让学生主动联想到用直尺和圆规“作一个角等于已知角”.通过师生、生生之间的对话发现问题、分析与解决问题,从而完成数学的“再创造”过程,发展学生的几何直观与推理能力等数学学科核心素养.

(1)画一个角等于已知角

操作1 (1)如图1,已知∠AOB=60°,请选择合适的工具画∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.

图1

引导学生思考画图工具和方法主要有:①利用含60°的三角尺,直接描出60°角;②利用量角器,并在此时总结画一个角的主要步骤(定始边,定标记点,定终边),让学生深刻体会准确画图最关键的是定标记点(不妨记作点D),也就是找准量角器边缘弧与角终边的交点D,进而总结出标记点D的位置能确定角的大小.

在此基础上,学生观察到量角器边缘弧与刻度线已经有181个标记点,根据这些点的位置能画出0°～180°的整数度的角.继而引发思考:如果一个角度不是整数,能不能继续用量角器画出来?

操作2 (2)如图2,已知∠AOB(这里设计的是48.31°),你还能用量角器画∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB吗?

图2

学生展示:先画射线O′A′,然后用量角器量一下∠AOB,找到量角器边缘弧与射线OB的交点,作标记点D,然后将量角器移动过来,对准始边,过这个标记点画出终边.(学生边说边画,如图3)

图3

师生总结:此时只要找到这个标记点D就能确定角的大小.当∠AOB是整数度的角,显然也能运用这种作标记点的方法画出与它相等的角,故能画出0°～180°的任意角.

设计意图由于学生对60°角比较熟悉,可选择的画图工具比较多,易于操作完成.低起点入手可以增强学生进一步学习的信心,也体现研究数学问题常从特殊到一般.同时,学生通过用量角器画60°角,明确“怎么做”,即画出始边(一条射线)后如何定终边(一条射线),感受到画角关键是确定终边上的一点.在操作1的分析之下,量角器显然能方便画出0°～180°内整数度的角,但角度变为操作2中的任意角时怎样准确画角?这是本节课思考的重点和难点,也是由具体度数确定角的大小过渡到由点的位置来确定角的大小的思考.虽然此时不便于直接利用量角器的刻度线,但仍然可以确定量角器边缘弧与角的终边交点.适时引导学生联想到利用圆规画弧可以代替这里量角器的功能,为利用尺规作一个角等于已知角作铺垫.

(2)作一个角等于已知角

引导学生回忆在解决“画一个角等于已知角”的过程中,量角器大小没有改变,刻度线也没用到.因此可以通过PPT展示刻度线隐藏后简洁的图形(图4),感受没有刻度的量角器可用来画弧,方便确定标记点D的位置.

图4

操作2 学生通过图4可以感受手中的圆规能替代这样的无刻度量角器.让学生继续思考:如图5,小明的量角器破损了,他说通过上面的启发也能用手中其他画图工具(三角板、圆规、直尺)画出∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.你也能解决这个问题吗?请在透明纸上试一试(透明纸上印制的量角器大小不一),组内合作完成.

图5 图6

大部分学生按照画一个角的步骤首先画一条射线O′A′,然后记射线OA与量角器边缘弧的交点为C,以O为圆心、OC为半径画弧,恢复量角器的半圆弧,射线OB与量角器半圆弧的交点为D(图6),再以O′为圆心、OC长为半径画弧交射线O′A′于点C′(图7)．少数学生凭感觉找到图6中标记点D的对应点D′,即用圆规截取线段CD的长,以C′为圆心、CD长为半径画弧,交前弧为D′,这样就确定∠A′O′B′终边上的标记点D′,过D′画射线O′B′(图8).

图7 图8

引导学生继续思考:线段CD的长度到底能否控制∠AOB的大小呢?借助量角器探究:当点D在量角器的外轮廓上运动时(图9),∠AOB的大小与CD的长度之间有什么联系呢?(几何画板动态演示)

图9

学生通过观察几何画板度量动态过程中∠AOB的大小与线段CD的长度,发现线段CD越长,∠AOB也越大;反之线段CD越短,∠AOB也越小.当线段CD固定在某一个数值时,这个角的大小也随之确定下来.

师:请未完成的同学按照这样的思路,在原来的基础上继续作图.

由于给学生们提供的透明纸上的量角器是有大有小的,笔者随机找了3个学生画好的图形,将3张透明纸重合并使得3个图形中∠A′O′B′的顶点与始边重合(投影展示如图10),发现不同图形中标记点D′在同一条射线上.这说明量角器的大小不影响画一个角等于已知角,所以可以用任意长为半径画弧,并且不需画整个半圆弧,画出的弧只要能方便确定出标记点的位置即可.

图10

学生经历了以上的探究过程后,很容易想到用圆规代替这里大大小小的量角器.此时学生发现用圆规和无刻度直尺也能直接作一个角等于已知角,并总结作图的一般步骤:

①画射线O′A′;

②以点O为圆心、任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;

③以O′为圆心、OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;

④以点C′为圆心、CD长为半径画弧,交前弧于点D′;

⑤过D′画射线O′B′.

∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角.

师:至于为什么这样作的两个角就相等了,由于教材内容的安排,我们在八年级的时候会进行证明.

设计意图学生在前面活动的基础上联想到残缺的量角器可以用圆规补全,但是此时学生操作的难点有两个:一是这个图形不能移动,这会推动学生去积极思考利用工具“造”一个量角器的外轮廓,引出“圆规”;二是如何确定终边上的一个点,也就是圆弧与终边的交点,学生突破难度较大,此时需要在教师的引导下,结合多媒体感受角的大小还可以通过圆上两点间距离CD来控制.回头再看整个作图过程直接变成用直尺和圆规可以解决的作图问题,从而明晰可以直接利用直尺和圆规“作一个角等于已知角”.在以上的过程中深化知识之间的联系,感受知识的生成自然,可以发展学生的几何直观和推理能力等核心素养.

(3)折一个角等于已知角

操作3 如图11,你能折出∠BOC,使得∠BOC=∠AOC吗?请利用手中的透明纸试一试.

图11 图12

设计意图通过用工具“画特殊角”到用尺规“作一个角等于已知角”,再到折出“一个角等于已知角”,这是本节课学生活动的主线.通过最后一个活动自然地引入角平分线,同时与线段中点的认知类比,获得角平分线的定义,并结合图形用符号表达.这样让学生在类比中生成新知,在探究中生长新知,从而积累了基本活动经验,建构了更加完整的知识体系,从学会走向会学.

3 教学思考

(1)凸显结构框架,感受学习方法

本节课教学的难点是如何让学生主动联想到“用直尺和圆规作一个角等于已知角”.基于学生已有的数学知识和活动经验,本节课安排从画特殊角60°再到一般角.学生对60°角比较熟悉,三角尺中刚好也存在这样的特殊角,会让学生产生一种“做做看”的心理活动,增强学生对学会本节课内容的信心.对于特殊角60°学生还能想到用量角器完成,此时引导学生总结利用量角器画一个角的一般步骤,关键是确定终边上的点,给学生后面“画一个角等于已知角”和“作一个角等于已知角”提供“怎么做”的路径.将线段中点的定义类比得到角平分线的定义,线段中点的符号语言类比得到角平分线的符号语言．这样的教学从学生已有的知识结构中寻找“最近发展区”,学生不仅知其然而且知其所以然,课堂生成也自然不生硬.

(2)培养动手操作,积累活动经验

数学活动经验的积累是提高学生数学核心素养的重要标志.为了让学生始终有机会处于一个“动”的状态之中,本案例设计了三个操作活动:“画一个角等于已知角”“作一个角等于已知角”“折出一个角等于已知角”.这组系列活动学生每完成一个都必须有所思考,积累一定的认识,为下一个活动做好准备.学生在这组活动中有操作、有体会、有想象、有发现、有推理,不但让学生在活动中感受尺规作图的合理性,而且这三个“操作活动”让学生自己动手使用量角器、三角尺、圆规和直尺等画图工具完成了同一个任务——“画一个角等于已知角”,有效地增强了学生的动手能力,很好地激发出初中起始年级阶段学生“做数学”“用数学”的兴趣,积累了基本的数学活动经验.

(3)渗透数学思想,积淀核心素养

从画特殊角60°再到一般角,让学生体会“从特殊到一般”也是我们数学研究和解决问题中常用的思想方法.类比线段中点的定义及符号语言得到角平分线的定义及符号语言,感受数学学习的“套路”.这两种数学思想在本章节的其他课时也有出现,蕴含数学知识的整体性,也蕴含数学的一般观念,所以在平时教学中教师需要从一个整体的角度看待这两种数学思想,建构学习体系,这样有利于提升学生学习能力与数学核心素养[3].

总的来说,尺规作图教学应引导学生去分析思维的起点与突破口,寻找朴素的适合学生思维的自然,坚持前后一致的必然,揭示本质贯通的超然.教给学生作法背后的“套路”,感悟“套路”背后所蕴含最基本的思想方法,最后让学生“想得透”,让通性通法成为学生作图的“家常菜”,从而真正提高学生的数学素养[4].