与二次函数相关的最值问题求解策略

甘肃省甘谷县西关中学

王彩兰

对于与二次函数相关的线段最值问题的考查，往往涉及到的知识点主要有以下几点：其一是两点之间线段最短；其二是垂线段最短；其三是三角形三边关系等内容.如何针对这一考点引导学生对“动”和“定”之间的关系进行思考研究，处理问题中运动变化关系与几何元素的位置、数量关系，提升学生的解题能力和识别能力，从而落实相关的探究活动过程，真正实现数学核心素养要求？本文中结合常见的几种类型作简单的说明.

1 求动点到直线距离的最值：建立二次函数

例1如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．在AC下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AC于点H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标.

图1

图2

图3

如图2，我们可以过点P作PE垂直x轴于点E，交直线AC于点F.根据直线AC的解析式判断其与x轴的夹角，从而确定PF与PH的关系，结合点P在二次函数上，可以直接写出线段PF的函数关系式，建立二次函数，利用二次函数求解最值，问题得到解决.

再如：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，-3)．若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH垂直x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值.

这道题可以根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标与较小的纵坐标的差，可得二次函数，进而根据二次函数的性质，可得答案.

2 求动点与其他两定点组成的三角形周长的最值：建立“将军饮马”模型

例2如图4，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)．在其对称轴上确定一点P，使得△BCP的周长最小，试求周长的最小值和点P的坐标.

图4

图5

要使△BCP的周长最小，因为点B和点C固定，BC为定长，则只要PB+PC最小即可．如图5，由于点A与点B关于对称轴对称，从而连接AC交对称轴于点P，则PA+PC=PB+PC=AC，根据两点之间，线段最短，可得PB+PC的最小值，故可求△ABP周长的最小值．本题在处理三角形周长最小值的过程中，将PB+PC转化为“将军饮马”模型进行研究，从而将问题转化为“两点之间线段最短”问题即可得到解决.

图6

3 求动点到两定点距离之差的最值：转化为三点共线问题

图7

例3如图7，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x=2．点B是抛物线对称轴上的一点，且点B的坐标为(2，8)，若P是抛物线上的动点，当PA-PB的值最大时，求点P的坐标以及PA-PB的最大值．

图8

如何探求其差最大呢？我们

不妨建立新的图形进行研究.如图8所示，连接AB并延长，交x轴于点P，任取一点P′，连接AP′，BP′，在△ABP′中，根据三角形的性质，两边之差小于第三边，即AP′-BP′

对于例3,运用待定系数法可求得直线AB的解析式为y=-x+10，当PA-PB的值最大时，点A，B，P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即PA-PB的最大值．

4 “一定两动”三角形面积的最值：定底求高转化为线段最值

此类问题往往考查“抛物线上是否存在一动点，使之与一条定线段构成的三角形面积最大”，这类问题我们也可以简称为“一定两动”求面积最值问题.解答过程中可以先利用两点间的距离公式求出定线段的长度，然后利用抛物线上动点到该线段的距离确定最大值，之后再利用三角形的面积公式即可确定其最大值，在求解过程中，切点即为符合题意的点.当然也可以将所求三角形分割成两个基本模型的三角形，根据切割后三角形的底和高的情况进行求解，这种方法常常会通过二次函数表示，根据二次函数最值求解即可得到.

图9

例4如图9，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个交点为A，且与y轴相交于点C．在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请简要说明理由．

图10

5 “两定两动”四边形面积的最值：转化为三角形求解

图11

例5如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx的图象经过A(5，0)，B(4，4)．在第一象限的抛物线上存在点M，使以O，A，B，M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．

根据题意可知，以O，A，B，M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，如图12，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大.求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值即可.显然，本题中四点所构成的四边形，因点M的位置不确定，故可根据情况进行分类讨论：当0

图12

图13

根据上述内容，我们可以在探究几何模型过程中挖掘求线段最值问题图形的本质，再结合相关内容涉及到的最基本的原理、法则，将多种问题转化为同一类问题来解答，实现方法、思路归一的结果.同时在计算过程中引导学生感悟化归转化、数形结合及函数、方程建模的应用，从而将各种方法灵活运用于问题探究过程中.