构建数学生长平台 让生长数学水到渠成

江苏省扬州市邗江区实验学校

杜成智 刘黎铭

近期阅读了卜以楼老师的《生长数学：卜以楼初中数学教学主张》以及刊登在2021年第2期《中学数学教学参考》上潘红玉编委对卜以楼老师的专访文章《生长数学：新时代数学教育的行为自觉——访本刊编委卜以楼老师》，感触颇深.

《生长数学》是卜以楼老师几十年教育思想的集大成，书中提出生长数学是对教育本质的回归，生长数学凸显教育价值、聚焦核心素养、营造思维必然、创设意识唤醒、培育学习“静”界.笔者在一线教学中，深深体会到生长数学就是让数学生长化、可视化、艺术化，让数学知识“看得见”，“数学活动”摸得着，“数学思维”带得走，让学生回归数学核心、数学本质、数学素养.

在教学过程中，教师应当以学生为主体，因势利导，顺势而为，构建数学生长平台，让学生走进生动活泼的数学世界，在生动的教育情境中生成知识技能，让生长数学水到渠成.

1 依托课本习题，构建生长平台

教材中的例、习题是经过编者反复筛选、精心设计而来，有些题目看似浅显，实则蕴含丰富，只要运用得当，深入浅出，引导学生从举一反一到举一反三，内化思想，可以起到以一当百的效果.

图1

例1(苏科版八年级上册数学第57页第5题)已知：如图1，AB=AC,DB=DC,点E在AD上.求证：EB=EC.

在学习了线段垂直平分线后，给出了上面的题目.

师生活动：学生独立思考，教师巡视，巡视中发现大部分学生都会证明，使用的方法是——根据AB=AC，DB=DC，AD=AD，先证△ABD≌△ACD(SSS)，得到∠BAD=∠CAD,再证△ABE≌△ACE(SAS)，就可得到EB=EC.教师把学生的这种方法投影展示出来进行分析，并让学生讨论这种方法好不好.学生议论纷纷，大部分都认可这种方法，觉得蛮好的.(因为他们也是这样做的.)

但也有部分学生提出了异议，教师请其中一位学生给予说明.这位学生认为上面的方法太麻烦了，完全可以不用证全等.不少学生觉得不可思议，而该生给出了如下证明.

图2

证明：如图2，连接BC,因为AB=AC，所以点A在BC的垂直平分线上.同理，点D在BC的垂直平分线上.

故AD是BC的垂直平分线.

又因为点E在AD上，所以EB=EC.

教师询问学生，这种证明方法行不行？并让学生讨论上述证法的依据是什么.

不少学生觉得很惊奇，这个方法好简单，但就是有点不太理解.教师让那位学生讲解他的思路，并解释是怎么想到的.该生说：主要是在学了“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这两个定理后想到的，本题只要证明了点E在线段BC的垂直平分线上，就可以得到EB=EC.这为证明两条线段相等提供了新的方法，以后只要符合这种条件的就不需要再证全等了[1].

听了他的讲解，大家都认为第二种方法很妙，不由得为他鼓起掌来.该生也融入了其中，兴奋地又说道，可以把这道题目中的已知和结论分别编号为：①AB=AC；②DB=DC,点E在AD上；③EB=EC.如果把结论③与条件①②中的任意一个互换，仍然可以运用同样的方法解决.学生都跃跃欲试.

比如，已知：如图2，③EB=EC,②DB=DC,点E在AD上.求证：①AB=AC.

学生思考后，选择一名之前运用全等证明的学生口答.

证明：因为EB=EC，所以点E在BC的垂直平分线上.同理，点D在BC的垂直平分线上.

故DE是BC的垂直平分线.

又因为点A在DE上，所以AB=AC.

全班报以热烈的掌声.

评析：在例题的选择上，首先要营造联想的自然性，问题的起点要低，要让大部分学生“想得到”.例1是在学习“全等”与“线段的垂直平分线”后设置的一道题目，容易入手，但真正能运用线段垂直平分线的相关定理解题的学生是少数.此时可以因势利导，采用“兵教兵”“兵助兵”的方法达到“想得妙”“想得透”,从而达到数学的共同生长.

2 精设有效提问，构建生长平台

在数学课堂教学中，针对学生探索环节的问题设计必不可少，它可以引领学生及时思考和探究.因此，依据教学内容和目标，精设有效问题，加强变式训练，让学生在探索和分析的过程中，逐步提高数学素养[2].

在教学“勾股定理的应用(2)”这一内容时，可以设计以下环节引导学生进行探究.

例2如图3，已知△ABC为等边三角形，其边长为6，求△ABC的面积.

图3

图4

此例作边BC的高AD便可解决.为了达到训练学生迁移运用知识的目的，笔者设计了以下变式训练.

变式1如图4，已知△ABC中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC的面积.

通过变换题设将等边三角形转换为等腰三角形，实现了特殊到一般的过渡，由于变式1与例2解法相似，学生解起来也不太费劲.在引领学生小结归纳时，可以借助以下“问题串”来激活学生的思维.

问题1请分析例2和变式1的共同点，在解题的过程中都运用了哪些数学知识？

(这两个问题都是通过作一条边的高来求解的，也同时运用了等腰三角形的“三线合一”定理以及勾股定理解决问题.)

问题2从解题策略分析可得“求等边三角形的面积仅需找出三角形的边长”，那么求等腰三角形的面积时，需要知道哪些条件呢？

问题3还可以通过哪些条件去求三角形的面积？

问题4如果将变式1题设中的“AB=AC=17，BC=16”变为“△ABC的周长为50，AB=AC，且其底边的高为15”，能否求出该等腰三角形的面积？

图5

变式2如图5，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长及面积.

变式3如图5，已知△ABC中，AB=15，AD=12，BD=9,AC=13，求△ABC的周长及面积.

变式4分别以△ABC的三条边AB，AC，BC为直径向外作半圆，它们的面积分别为S1，S2和S3，且S1=S2+S3，试判断△ABC的形状.

评析：以上一系列变式训练，由易到难，从特殊到一般，通过改变条件或结论，培养学生的深层次探究意识和自主探究精神，引导学生灵活运用勾股定理找到解决问题的路径；同时借助阶梯式问题设计，进一步提升学生的应用能力和巧借“数形结合”与“转化”思维解决问题的能力；借助解决一道题延伸到一类题的解题策略，拓展学生解决问题的思路，培养学生的探究意识，凸显“以少胜多”的优势，达到融会贯通的效果[3].

总之，教学的目的是为了学生的不断成长，以学生的终身发展为导向.在教学中构建前后一致、逻辑连贯、一以贯之的生长平台，让学生通过自身的努力探究，掌握数学核心知识，让整个学习过程变得更有韵味.学生在这样的活动中逐步学会发现、学会发明，最终得以发展，让数学生长水到渠成.