构建数学生长平台 让生长数学水到渠成

2023-04-15 04:46江苏省扬州市邗江区实验学校
中学数学 2023年4期
关键词:等腰三角变式线段

江苏省扬州市邗江区实验学校

杜成智 刘黎铭

近期阅读了卜以楼老师的《生长数学:卜以楼初中数学教学主张》以及刊登在2021年第2期《中学数学教学参考》上潘红玉编委对卜以楼老师的专访文章《生长数学:新时代数学教育的行为自觉——访本刊编委卜以楼老师》,感触颇深.

《生长数学》是卜以楼老师几十年教育思想的集大成,书中提出生长数学是对教育本质的回归,生长数学凸显教育价值、聚焦核心素养、营造思维必然、创设意识唤醒、培育学习“静”界.笔者在一线教学中,深深体会到生长数学就是让数学生长化、可视化、艺术化,让数学知识“看得见”,“数学活动”摸得着,“数学思维”带得走,让学生回归数学核心、数学本质、数学素养.

在教学过程中,教师应当以学生为主体,因势利导,顺势而为,构建数学生长平台,让学生走进生动活泼的数学世界,在生动的教育情境中生成知识技能,让生长数学水到渠成.

1 依托课本习题,构建生长平台

教材中的例、习题是经过编者反复筛选、精心设计而来,有些题目看似浅显,实则蕴含丰富,只要运用得当,深入浅出,引导学生从举一反一到举一反三,内化思想,可以起到以一当百的效果.

图1

例1(苏科版八年级上册数学第57页第5题)已知:如图1,AB=AC,DB=DC,点E在AD上.求证:EB=EC.

在学习了线段垂直平分线后,给出了上面的题目.

师生活动:学生独立思考,教师巡视,巡视中发现大部分学生都会证明,使用的方法是——根据AB=AC,DB=DC,AD=AD,先证△ABD≌△ACD(SSS),得到∠BAD=∠CAD,再证△ABE≌△ACE(SAS),就可得到EB=EC.教师把学生的这种方法投影展示出来进行分析,并让学生讨论这种方法好不好.学生议论纷纷,大部分都认可这种方法,觉得蛮好的.(因为他们也是这样做的.)

但也有部分学生提出了异议,教师请其中一位学生给予说明.这位学生认为上面的方法太麻烦了,完全可以不用证全等.不少学生觉得不可思议,而该生给出了如下证明.

图2

证明:如图2,连接BC,因为AB=AC,所以点A在BC的垂直平分线上.同理,点D在BC的垂直平分线上.

故AD是BC的垂直平分线.

又因为点E在AD上,所以EB=EC.

教师询问学生,这种证明方法行不行?并让学生讨论上述证法的依据是什么.

不少学生觉得很惊奇,这个方法好简单,但就是有点不太理解.教师让那位学生讲解他的思路,并解释是怎么想到的.该生说:主要是在学了“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这两个定理后想到的,本题只要证明了点E在线段BC的垂直平分线上,就可以得到EB=EC.这为证明两条线段相等提供了新的方法,以后只要符合这种条件的就不需要再证全等了[1].

听了他的讲解,大家都认为第二种方法很妙,不由得为他鼓起掌来.该生也融入了其中,兴奋地又说道,可以把这道题目中的已知和结论分别编号为:①AB=AC;②DB=DC,点E在AD上;③EB=EC.如果把结论③与条件①②中的任意一个互换,仍然可以运用同样的方法解决.学生都跃跃欲试.

比如,已知:如图2,③EB=EC,②DB=DC,点E在AD上.求证:①AB=AC.

学生思考后,选择一名之前运用全等证明的学生口答.

证明:因为EB=EC,所以点E在BC的垂直平分线上.同理,点D在BC的垂直平分线上.

故DE是BC的垂直平分线.

又因为点A在DE上,所以AB=AC.

全班报以热烈的掌声.

评析:在例题的选择上,首先要营造联想的自然性,问题的起点要低,要让大部分学生“想得到”.例1是在学习“全等”与“线段的垂直平分线”后设置的一道题目,容易入手,但真正能运用线段垂直平分线的相关定理解题的学生是少数.此时可以因势利导,采用“兵教兵”“兵助兵”的方法达到“想得妙”“想得透”,从而达到数学的共同生长.

2 精设有效提问,构建生长平台

在数学课堂教学中,针对学生探索环节的问题设计必不可少,它可以引领学生及时思考和探究.因此,依据教学内容和目标,精设有效问题,加强变式训练,让学生在探索和分析的过程中,逐步提高数学素养[2].

在教学“勾股定理的应用(2)”这一内容时,可以设计以下环节引导学生进行探究.

例2如图3,已知△ABC为等边三角形,其边长为6,求△ABC的面积.

图3

图4

此例作边BC的高AD便可解决.为了达到训练学生迁移运用知识的目的,笔者设计了以下变式训练.

变式1如图4,已知△ABC中,AB=AC=17,BC=16,求△ABC的面积.

通过变换题设将等边三角形转换为等腰三角形,实现了特殊到一般的过渡,由于变式1与例2解法相似,学生解起来也不太费劲.在引领学生小结归纳时,可以借助以下“问题串”来激活学生的思维.

问题1请分析例2和变式1的共同点,在解题的过程中都运用了哪些数学知识?

(这两个问题都是通过作一条边的高来求解的,也同时运用了等腰三角形的“三线合一”定理以及勾股定理解决问题.)

问题2从解题策略分析可得“求等边三角形的面积仅需找出三角形的边长”,那么求等腰三角形的面积时,需要知道哪些条件呢?

问题3还可以通过哪些条件去求三角形的面积?

问题4如果将变式1题设中的“AB=AC=17,BC=16”变为“△ABC的周长为50,AB=AC,且其底边的高为15”,能否求出该等腰三角形的面积?

图5

变式2如图5,已知△ABC中,AD⊥BC,AB=15,AD=12,AC=13,求△ABC的周长及面积.

变式3如图5,已知△ABC中,AB=15,AD=12,BD=9,AC=13,求△ABC的周长及面积.

变式4分别以△ABC的三条边AB,AC,BC为直径向外作半圆,它们的面积分别为S1,S2和S3,且S1=S2+S3,试判断△ABC的形状.

评析:以上一系列变式训练,由易到难,从特殊到一般,通过改变条件或结论,培养学生的深层次探究意识和自主探究精神,引导学生灵活运用勾股定理找到解决问题的路径;同时借助阶梯式问题设计,进一步提升学生的应用能力和巧借“数形结合”与“转化”思维解决问题的能力;借助解决一道题延伸到一类题的解题策略,拓展学生解决问题的思路,培养学生的探究意识,凸显“以少胜多”的优势,达到融会贯通的效果[3].

总之,教学的目的是为了学生的不断成长,以学生的终身发展为导向.在教学中构建前后一致、逻辑连贯、一以贯之的生长平台,让学生通过自身的努力探究,掌握数学核心知识,让整个学习过程变得更有韵味.学生在这样的活动中逐步学会发现、学会发明,最终得以发展,让数学生长水到渠成.

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