陆榕芳
解答三角函数问题,通常需要对三角函数式进行三角恒等变换,以化简三角函数式.進行三角恒等变换的技巧很多,如常值代换、拆角、补角、升幂、降幂等.下面主要谈一谈常用的两个技巧:常值代换、拆角与补角.
一、常值代换
常值代换法是指把三角函数式用一个常数替换,并将其代入函数式中进行运算.我们知道,1= sin2α+ cos2α= sin = cos 0=tan 、= sin = cos 、=tan .在进行三角恒等变换时,可将常数“1”“”“”等替换与之相等的三角函数式,以配凑出三角函数公式,化简三角函数式.
例1.
解:
解答本题,需先通过积化和差,化简 sin 3x· sin3x + cos 3x cos3x ;然后灵活运用同角的三角函数关系式: sin2α+ cos2α=1来进行常数代换,以将高次幂化为低次幂.
二、拆角、补角
有些三角函数式中的角各不相同,此时可将其中的某些角拆分、拼凑,通过拆角、补角,使角统一,如α=+、2α-β=2(α-β)+β等,这样便能直接根据两角的和差公式化简三角函数式.
例2.已知 sin +α= ,cos -β= , 且0<α<<β< ,则cos(α+β) = .
解:
例3.
解:
我们需通过拼凑,使得 α + β 2 = ? è ? ? π 4 + α - ? è ? ? ? ÷ π 4 - β 2 , 通过角的变换沟通所求角与已知条件之间的联系,从 而求得问题的答案.
从以上分析可以看出,进行三角恒等变换,需选用合适的三角公式进行恒等变换,以达到化“未知”为“已知”,化“复杂”为“简单”的目的.
(作者单位:江苏省南通第一中学)