求解多元最值问题的几种措施

谢琴琴

多元最值问题具有较强的综合性，常与向量、函数、方程、不等式、解析几何、三角函数等知识相结合.解答此类问题的措施很多，如利用基本不等式、函数的单调性、三角函数的有界性、柯西不等式、导数法、数形结合法等，下面结合实例来作详细的介绍.

一、利用基本不等式

解答多元最值问题，常常要用到基本不等式： a + b ≥2（a >0， b >0），及其变形式：a2+ b2≥2ab 、≥ ab 、a + b + c ≥33等.在运用基本不等式及其变形式求最值时，往往要将已知关系式和目标式关联起来，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.

例1.设 a， b >0，且 a -2b =1，求（a2+ b2+1）的最小值.

解：

我们将已知关系式平方，并代入目标式，即可将目标式化为两式之和的形式：ab +.而这两式的积为定值，运用基本不等式 a + b ≥2就能快速求得目标式的最值.

例2.已知 a， b 为正实数，且 a + b =2，求+的最大值.

解：

通过换元，即可将代数式化为 2 m + 8 m - 4 .该式的分母中含有参数 m ，且 m +为两式的和，而这两式的积为定值，这便为运用基本不等式创造了条件.值得注意的是，在求得最值后，还需检验等号成立的条件是否满足题意，否则无法确定所求的值为最值.

二、利用函数的单调性

函数的单调性是解答最值问题的重要工具.在解答多元最值问题时，我们可以通过换元或运用整体思想，将某个变量视为主元，把目标式化为关于该主元的函數式，将问题转化为单变量函数最值问题.再根据简单基本函数的单调性、复合函数的单调性、导函数与函数的单调性之间的关系来求最值.

例3.若 x2- y2=1，求+的取值范围.

解：

本题实质上是二元最值问题.在解题时，需先结合已知关系式将目标式变形，得到-2+2?+1；再将 t =看作一个整体，把目标式看作关于 t =的一元二次函数，根据二次函数的单调性来求最值.

例4.若实数 a，b，c 满足4a +2b +c =4，求 a4+ b2+c 的最小值.

解：

我们将目标式看作关于其中一个变量 a 的四次函数式，对函数求导，即可根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性求得函数的最小值.

三、三角换元

若代数式可化为两平方式的和，则可根据同角的三角函数关系式：sin2θ+ cos2θ=1来进行三角换元，这样便可将目标式转化为关于角的三角函数式.再进行三角恒等变换，将目标式化为正弦、余弦函数式，即可根据正弦、余弦函数的有界性和单调性来求最值.

例5

解：

由 x2+y2≤1可联想到同角的三角函数关系式： sin2θ+ cos2θ=1，于是令 x =rcos θ、y =rsin θ ， 便可将目标式化为关于角θ的三角函数式，再将其化为正弦函数式，就可以根据正弦函数的有界性求得最值.

例6.

解：

解答本题，要先根据3x2+y2进行三角换元，令 x = cos θ，y =rsin θ;再将其代入已知关系式，即可用三角函数式表示出 r2；然后根据余弦函数的有界性来解题.

四、数形结合

在解答多元最值问题时，可深入挖掘其中代数式的几何意义，将代数式看作函数式、曲线的方程、直线的斜率、两点间的距离等，再画出相应的图形，便可借助图形来研究满足题意的临界情形，据此建立关系，即可求得最值.

例7.设 x，y 为正实数，且2x +y =2，求 x + x2+y2的最小值.

解：设直线 l：2x +y =2，作点 O 关于直线 l 的对称点O′（m，n），可得O′（ ， ）.设点 P 为直线 l 在第一象限的一点，过点 P 作 y 轴的垂线 PA ，如图所示.

则 x + x2+y2= lPAl+ lPOl = lPAl+ lPO′ l ，

由图可知，当 A、P、O′在同一条直线上时，x + x2+y2最小，

此时lPAl+ lPO′ l = lAO′ l =

所以 x +x2+y2的最小值为

在解答多元最值问题时，化“数”为“形”，便能借助图形来直观地分析问题，将数形结合起来，即可快速地求得最值.

总之，解答多元最值问题，需注意：（1）处理好各个变量之间的关系；（2）建立已知关系式和目标式之间的联系；（3）将代数式进行变形、代换、构造，以将问题进行合理的转化，这样才能有效地提升解题的效率.

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）