例析三类二项式问题的解法

郭骏聪

二项式是高考中常考的知识点.二项式问题侧重于考查二项式定理、组合数的定义、二项式展开式的通项公式的应用.下面主要探讨一下三类常见的二项式问题的特点以及解题规律.

一、两个二项式的乘积问题

我们经常会遇到形如 （a + bx） n （c + dx） m 的两个二项 式的乘积问题，要求其展开式或特定项，需先根据二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 求 得 该 式 的 通 项 Tr + 1 ?T' k + 1 = Cr nan - r （bx） r ?Ck mc m - k （dx） k ；再根据题目中的要 求，讨论 r、k 的取值；最后将 r、k 的取值代入上述通项 中，即可解题.

例1

解：

解答本题的关键是根据二项式展开式的通项公 式求得 （2x - 3） 2 （1 - 1 x ） 6 展开式的通项.然后令通项中x 的指数为2，根据r、k取正整数，且r<2，k

二、三项式展开式问题

三项式展开式问题通常要求三项式（a + b +c）n 的展开式中指定项及其系数.常用的方法有两种：一是将 a + b 看作是一个整体，即将（a + b +c）n 变形为[（a + b）+c]n ，将三项式问题看作二项式问题，利用二项式定理和二项式展开式的通项公式求解；二是将（a + b +c）n 看作是 n 个相同的因式 a + b +c 相乘，把问题看作组合问题，即先从 n 个因式 a + b +c 中选取 x 个 a，再从 n-x 个因式a + b +c 中选取y 个 b，然后从 n-x-y个因式 a + b +c 中选取z 个 c，其中 x、y、z 均为正整数，且 x+y+z

例2

解法1

解法2

解法 1 是两次灵活运用了二项展开式的通项公 式，通过逐步分析、计算，求得问题的答案.解法2是将 （x - 2y + 2z） 5 看作 5 个相同的因式 x - 2y + 2z 相乘，将 xy3 z 看作从5个因式中选取1个 x ，再在其余的4个因 式选取3个 -2y ，最后在剩余的1个因式中选取 2z .显 然解法2比较简单.

三、整除问题

求解高次项的余数和整除问题，通常需利用二项 式定理，即将底数转化为“两数之和”或者“两数之差”的形式，然后利用二项式定理将其展开，提取每一项 的公因式，即可确定高次式是否被整除，以及余数的 值.

例3.9910除以1000的余数是（ ）.

A.1  B.9  C.99  D.999

解：因为99=100-1，

所以9910=（100-1）10=10010+ C1（1）01009（-1）1+ C1（2）01008

注意到除数是 1000 ，而 100 与之紧密联系，因此 将底数 99 变为100 - 1，将底数99写成“两数之差”的 形式，即可根据二项式定理将 99 10 展开，提取公因式 1000，即可求得余数为1.

例4

解：

注意到 53 = 4 × 13 + 1 ，与13联系紧密，因此将底 数 53 变为 52 + 1 ，将 532023 的底数写成“兩数之和”的 形式，即可根据二项式定理将 532023 展开，提取公因数 13，即可快速确定余数.

总之，求解二项式问题需注意：（1）灵活运用二项 展开式的通项公式、二项式定理；（2）将多项式、单项 式化为“两数之和”“两数之差”的形式，将问题转化为 二项式问题；（3）合理进行赋值；（4）谨慎计算，避免出 错；（5）灵活运用组合知识.

（作者单位：江苏省宜兴中学）