新课程标准视域下初中数学分层作业的设计研究

摘 要：在初中数学学习过程中，学生在知识水平、智力和接受能力上存在差异.为确保学习的有效性，以及每位学生都能得到充分全面的发展，教师可以采用作业分层设计与实施的策略，根据不同学生的水平和需求，有针对性地安排作业，让每位学生都能通过作业获得进步.除此之外，分层作业还有助于优化初中数学教学流程，提高教学效果.

关键词：初中数学；新课程标准；分层作业；一元二次方程

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0068-03

分层教学的核心观点是根据学生的能力和学习风格进行个性化的教学，强调将学生置于学习的中心，通过关注每个学生的特点和需求，为其提供有针对性的学习环境.这个理论认为，每个学生都有不同的学习风格、兴趣和能力，因此需要根据这些差异设计个性化的学习计划.然而，现行的分层作业策略在实施过程中，往往只是根据学习成绩划分学习小组，根据题目难易安排作业，未能提供实质的个性化指导.教师应该在认识学生间不同的学习风格和认知差异后，从多样化的角度出发进行作业设计，进而满足不同学生需求，切实提升学习效果［1］.本文以“一元二次方程”为例，探讨新课程标准视域下分层作业的实践.

1 按照任务难度设计分层作业

认知负荷理论认为，学习过程中存在着认知负荷，即学生需要投入一定的认知资源处理信息和执行任务.如果任务难度超过学生的认知能力，学生可能会感到压力过大，无法有效学习.相反，如果任务过于简单，可能会导致学生的兴趣和动机下降.因此，通过合理划分任务难度，可以更好地调整学生的认知负荷，使其处于适度挑战的学习状态.在设计“一元二次方程”的单元作业时，对于理解较好的学生，教师可以设置一些挑战性的高阶思维题目，来拓展学生的数学思维能力.同时，对于掌握程度较低的学生，可以设置一些基础练习题，帮助学生夯实基础知识.通过合理设计作业难度，教师能够更好地满足学生的学习需求，促进个体的全面发展.

在学习“一元二次方程”时，教师可以将作业按照难度进行划分，这有助于学生在学习过程中逐步提升解题能力和理解深度.这种划分可以形成一个渐进的学习过程，帮助学生有序地掌握和巩固一元二次方程的基本概念和解题方法.

［作业设计案例（一）］

基础题：考查对一元二次方程基本概念的理解和应用能力.学生通过观察方程的形式，识别各项系数，并计算一元二次方程的根的判别式.这些基本概念和技能是学习和解决更复杂的一元二次方程问题的基础.

题1 已知一元二次方程2x2+3x-5=0，请回答以下问题：

（1） 方程的二次项系数是多少？

（2） 方程的一次项系数是多少？

（3） 方程的常数项是多少？

（4） 求出方程的根的判别式.

进阶题：在掌握基础知识的基础上，进一步要求学生应用配方法求解方程的根，并思考判别式的含义.学生需要将变量a代入方程，利用配方法求解方程的根，并得出结论.同时，学生还需通过计算判别式来判断方程的根的个数，并给出其含义.通过这道题目的练习，学生可以更深入地理解一元二次方程解的情况和判别式的意义.

题2 已知一元二次方程x2+（a-1）x+a=0 ，其中a是实数.请回答以下问题：

（1） 当a=4时，求出该方程的两个根.

（2） 当a取什么值时，方程只有一个实数根？

（3） 给出该方程的判别式，并解释其含义.

挑战题：要求学生综合运用一元二次方程的知识，进行变形和化简，并且加入了条件限制，增加了解题的难度.学生需要利用给定的方程和条件进行化简，然后通过配方法求解方程的根.同时，学生还需推导出判别式的表达式，并解释其含义.这道题目能够提高学生的综合运用能力和思考问题的能力.

题3 解方程x2+（k+1）x-2k=0，其中k是满足条件的实数.请回答以下问题：

（1） 当k=-2时，求出该方程的两个根.

（2） 当k取什么值时，方程有相等的两个根？

（3） 写出该方程的根的判别式，并解释其含义.

这种分层作业的设计，不仅有助于调整学生的认知负荷，让学生处于适当的学习挑战中，还提供了个性化的学习体验.学生可以根据自己的实际情况选择合适的题目，并在适度挑战中提升自己的数学能力.

2 根据认知方向设计分层作业

根据克鲁捷茨基提出的数学气质理论，不同能力结构的学生在数学思维上会有不同的倾向.其中包括分析型、几何型、调和型等不同类型的数学气质.在设计数学作业时，可以采用一种灵活的方式，通过设置引导性提示语将题目改编成逐渐递进的问题串.这样的作业设计能够为班级中不同思维层次的学生提供充分的思考空间.由于题目是逐步拾级而上的，学生可以根据自己的能力水平逐步解决问題，从而培养学生的数学思维能力.其次，这种设计能够满足不同数学气质的学生的需求.由于问题串是逐步加深难度的，学生可以在不同的时间段重复进行思考和解答，从而在不断的学习中提高解题能力［2］.

“一元二次方程”的学习涉及多个方面的知识和技能，如代数运算、图像分析、逻辑推理等.通过按思维方式划分作业，可以鼓励学生综合运用不同的认知方式，培养其多元智能，并提升其比较与抉择的能力.同时，对于不同认知方式的学生来说，使用适合的学习方式能够更直观地理解概念和解题步骤，从而提高学习效果.

［作业设计案例（二）］

小明正在设计一个游乐园的过山车.过山车的轨道呈抛物线形状，顶点坐标为（0，10）.已知过山车从顶点出发，经过点A（4，6）和点B（8，2）.请找出抛物线的方程，并回答以下问题：

（1）抛物线的开口方向是向上还是向下？

（2）求出过山车在x轴上的最高点的坐标.

（3）过山车在运动过程中是否与x轴有交点？如果有，请求出交点的坐标.

分析型思维：表达式使用一元二次方程的一般形式来表示抛物线的.通过观察已知点的坐标，利用方程和变量之间的关系，推导出抛物线的表达式.

几何型思维：绘制坐标系，并在图中标出顶点和经过的点A、B的位置.通过直观地观察图形，探索抛物线的特点，如开口方向、对称性等.从几何的角度来理解和推导抛物线的方程.

调和型思维：利用给定的三个点的坐标，建立一个方程组，其中未知系数为抛物线的方程参数.通过求解方程组，求得抛物线的表达式.这种方法可以综合运用代数和几何知识，进行推理和变式训练.

通过设置引导性提示语，将题目改编成逐渐递进的问题串，可以为不同思维层次和数学气质的学生提供充分的思考空间，并让能力水平较低的学生在不同时期回看作业时，仍能够获得新的提升.这种作业设计有助于学生全面发展，并为将来面对复杂问题时具备更强的解决能力.

3 建立分层评估与辅导体系

分层评估与辅导是分层作业设计中重要的一环，它旨在根据学生个体差异提供有针对性的作业和指导，从而实现个性化教育的目标.通过分层评估，教师可以了解学生的学习状况，为学生提供适合难度的作业和个性化反馈，促进学生学习进步，学生也能在适合自己的学习水平上进行学习，避免了“一刀切”的教学模式.因此，将个性化评估与辅导纳入分层作业设计，可以更好地满足学生的学习需求，推动学生在适合自己的学习水平上取得更好的发展［3］.

“一元二次方程”是初中数学中的一个重要内容，对学生来说可能存在一定的难度，在教学过程中需要教师给予重视.分层评估可以根据学生的理解程度和能力水平，识别学生理解和掌握程度的差异，以便更好地针对每个层次的学生提供适当的教学和辅导，这样可以确保学生在不过大压力的情况下，逐步提高对一元二次方程的理解与应用能力.

［作业设计案例（三）］

一辆汽车从高速公路A出发，匀速行驶.已知从起点到终点的距离为100 km，行驶时间为t小时.假设车辆的加速度为－2 m/s2，求在t小时内，汽车行驶的距离与时间的关系式，并计算在2小时内汽车行驶的距离.

基础水平学生的

评估要点：能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式并计算简单运算.

辅导方案：引导学生回顾直线运动的相关知识，帮助学生建立起汽车行驶距离与时间的关系式，并指导学生代入数值，完成简单的运算.对于2小时的情况，直接将时间代入公式计算得出结果.

中等水平学生的

评估要点：能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式，并应用公式计算具体数值.

辅导方案：复习直线运动的相关知识，并通过例题帮助学生建立汽车行驶距离与时间的关系式.引导学生代入数值，计算出具体的行驶距离.对于2小时的情况，应用公式计算得出结果，并提醒学生解释数值的物理意义.

优秀水平学生的

评估要点：能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式，并应用公式解决复杂问题.

辅导方案：通过复习直线运动的相关知识，让学生建立起汽车行驶距离与时间的关系式.先引导学生代入数值，计算行驶距离，再让学生思考并解决与时间、距离、速度等有关的复杂问题，例如，求出最初速度或加速度的大小等.

在分层评估时，教师也需要灵活调整难度，并给予不同层次学生适当地指导和帮助，避免给其带来歧视和过大的压力；鼓励学生积极参与，重视每个学生的个体差异，在评估中强调要注重学习过程而非仅仅关注结果；尊重学生的不同思维方式和解题方法，以此帮助学生在实际应用中理解和运用一元二次方程知识，提高学生的学习效果和兴趣.

数学学科的学习对学生的学习能力要求较高，教师在教学中运用分层教学非常适合.传统“一刀切”的教学方式难以满足所有学生的需要，而分层教学能够充分考虑学生个体的客观差异，并为每个学生设置符合其实际情况的教学目标和评价标准.初中阶段是学生建立学习习惯、培养能力的关键时期，因此，教师在初中数学教学中应加强对分层教学方法的研究与应用，切实提高课堂教学效果，提升学生的核心素养.

参考文献：

［1］ 李明洋，于彬.初中数学分层作业设計的探索与解读［J］.数学教学通讯，2023（8）：8-10.

［2］ 成囡.“双减”政策下数学发展性分层作业的设计策略［J］.数理化学习（教研版），2022（9）：10-12.

［3］ 李铭娇.分层作业在初三数学教学的实践研究［D］.上海：华东师范大学，2022.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：罗志山（1966.3-），男，江苏省南通人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

基金项目：本文系南通市教育科学“十四五”规划课题“新课标视域下分层作业的实践研究”的阶段研究成果（课题编号：GH2022024）