认清本质 提升能力 避免混淆

姚娟妹

方程与不等式贯穿了整个初中数学的学习，是初中数学不可缺失的部分。部分同学在解答这类题目时由于没有认清问题本质，引起混淆，从而导致出错。下面举几道例题，我们一起分析一下。

一、审题能力不足引起混淆

例1 （1）当m为何值时，关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根？

（2）求证：无论m为何值，关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0总有两个不相等的实数根。

【易混淆处】不少同学由于审题能力不足或审题习惯不好，无法从题目中获取有用的信息进行解题，将（1）和（2）混淆，导致解答错误。

【问题本质】（1）中“有两个不相等的实数根”是已知条件，可由条件出发，求m的值；（2）中“有两个不相等的实数根”是需要证明的结论，不能将其看成已知条件。

【正确答案】

（1）解：由题意得

[m-1≠0，（-2）2-4×1×（m-1）＞0，]

解得[m≠1，m＜2。]

∴当m＜2且m≠1时，方程（m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根。

（2）证明：∵b2-4ac=（m+3）2-4（m+1）

=m2+2m+5

=（m+1）2+4＞0，

∴无论m为何值，方程x2+（m+3）x+m+1=0总有两个不相等的实数根。

二、计算能力不足引起混淆

例2 （1）解方程：[xx2-4][+14-2x]=0。

（2）计算：[xx2-4][+14-2x]。

【易混淆处】部分同学由于计算能力不足，对算理不理解，将（1）和（2）混淆。

【问题本质】（1）是解分式方程，一般通过乘公分母，将分式方程转化为整式方程，最后还要检验；（2）是两个异分母的分式相加，应该先通分，将其化为同分母的分式再计算，不能通过乘公分母去分母。

【正确答案】

解：（1）[xx2-4][+14-2x]=0。

[x（x+2）（x-2）][+12（2-x）]=0。

[x（x+2）（x-2）][-12（x-2）]=0。

方程两边同乘2（x+2）（x-2），得

2x-（x+2）=0。

x-2=0。

x=2。

检验：当x=2时，2（x+2）（x-2）=0。

∴x=2是增根。

∴原分式方程无解。

（2）[xx2-4][+14-2x]

=[x（x+2）（x-2）][-12（x-2）]

=[2x2（x+2）（x-2）][-x+22（x+2）（x-2）]

=[12（x+2）]

=[12x+4]。

三、知识理解不到位引起混淆

例3 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）。

A.若[ac]=[bc]，则a=b

B.若a=b，则[ac]=[bc]

C.若a2=b2，则a=b

D.若[-13]x=6，则x=-2

【易混淆处】部分同学由于对等式的性质理解不到位，将选项A和选项B混淆。

【问题本质】A选项利用了等式的性质2：在等式的两边同时乘c，所得结果仍是等式；B選项看似利用等式的性质2：在等式的两边同时除以c，但是未考虑c≠0，故错误。

【正确答案】A。

对于容易混淆的知识，同学们要弄清知识的“来龙去脉”，认清问题本质，进而提升解题能力。

［作者单位：江苏省泰州市医药高新区（高港区）教育局］