两道方程问题的来路、思路、去路

朱小燕

数学中考题多来源于教材。在教材例题、习题的基础上适当延展，一道全新的中考题就呈现出来了。下面，我们对2022年的几道中考题进行研究，追溯试题的来路，理清解决问题的思路，关联还可能走向的去路。

数学文化史中的“方程术”

［苏科版数学教材七（上）第107页问题3］某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么可比计划多做9个；如果每人做4个，那么将比计划少做15个。该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？

【解析】设该小组共有x人，用两种不同的“做法”表示计划做的中国结个数。“如果每人做5个，那么可比计划多做9个”，可知计划做中国结（5x-9）个；“如果每人做4个，那么将比计划少做15个”，可知计划做中国结（4x+15）个，得方程5x-9=4x+15，从而利用一元一次方程模型解决问题。

【点评】实际上，对这类“若每……，则多……；若每……，则少……”的问题，中国古代数学家早就进行了研究。古代数学专著《九章算术》将此类问题称为“盈不足”问题，可以用“方程术”解决。数学承载着思想和文化，此类问題也是中考常考题型。

（2022·江苏南通）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三。问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 。

【解析】“若每人出5钱，还差45钱”，则羊价为（5x+45）钱；“若每人出7钱，多余3钱”，则羊价为（7x-3）钱，故方程为5x+45=7x-3。

图形中的方程

［苏科版数学教材九（上）第30页习题5］如图1，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪。要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？

【解析】设道路的宽为xm，通过平移，4块草坪可以拼成长（40-x）m、宽（22-x）m的矩形。根据题意，得（40-x）（22-x）=760，解得x1=2，x2=60（舍去）。

注意：解一元二次方程时，应先将方程化为一般式，再选择合适的方法求解。

延伸出新题的两个方向：1.变数据，改变矩形地面的长和宽；2.变图形，改变道路的位置。

（2022·江苏泰州）如图2，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪。要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

【解析】设道路的宽为xm，则矩形草坪长（50-2x）m、宽（38-2x）m。根据题意，得（50-2x）（38-2x）=1260，解得x1=4，x2=40（舍去）。

此类问题还可变化为方案设计题。

［苏科版数学教材九（上）第32页数学活动］在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你能给出设计方案吗？

【解析】和图2类似，可以在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，绿地的面积与花圃的面积相等；也可以设计菱形花圃、圆形花圃等。同学们开动脑筋，试着画一画、求一求吧。

方程与不等式是刻画现实世界的有效数学模型，我们在解决实际问题时通常要联想到方程与不等式模型。中考题大多来源于教材，题目是活的，这就启示我们，在平时做题时要多思考，可以进行适当的变式。可以正向延展：改变条件或图形，能得出什么结论？还能提出什么问题？也可以逆向延展：交换条件与结论，还能解决吗？相信经过这样的训练，即便遇到陌生的中考题，我们也可以轻松应对。

（作者单位：江苏省泰州市高港实验初级中学）