立足关键能力的“平方差公式”教学策略研究*

浙江省杭州市文海实验学校 (310018) 马振华

1 数学关键能力的认识

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下面简称《数学课程标准》)有指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力”．从核心素养的内涵上看，关键能力显然是核心素养的外显,在《数学课程标准》中提出了6个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，并没有对数学关键能力具体叙述．从核心素养的描述上，其主要表现与数学关键能力密切相关，例如数学抽象主要表现为“获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系”．这种描述显然是一个过程，既然是过程那就一定需要以知识为载体，以活动为支撑，根据活动的表现情况能展现出能力的强弱，其他5个核心素养亦是如此，所以6种核心素养其本质中蕴含6中关键能力．

2 缘起：公式教学中学生数学关键能力的现状

乘法公式是为了快速化简具有特殊结构的多项式相乘的形式，有许多数学思想方法蕴含在其出现及发展的过程中，这些数学思想方法有助于数学关键能力的培养．特比是平方差公式作为公式学习的起始课，承载了乘法公式研究方法的指导、甚至是能力培养的重要使命．

在公式教学中，教师往往只重视公式的运用，虽然说以例题和练习作为重点可以提高学生运算能力，但这样导致公式的研究较为片面，学生由于不清楚为何学而感到枯燥，无法认识公式的意义，进而导致这样的“运算能力”留有隐患．教学中具体存在问题如下：

2.1 缺乏知识结构的指导

平方差公式是多项式乘法的特殊情况，在教学中如何使学生认识特殊之处，如果教学时仅仅使学生通过计算两个特殊二项式相乘发现归纳，那么学生就无法整体认识乘法公式与多项式乘法的关系，不利于后续完全平方公式等知识的自然生成．

2.2 缺乏逻辑的引导推理

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2其本质是一个恒等式，对于恒等式的证明如何思考推理，从左往右、从右往左还是往中间化，这是培养学生严密思维的好材料，而不是仅仅就用整式的乘法法则化简即可证明．公式的几何验证不是仅仅直接ppt展示计算，而是可以引导学生类比整式乘法研究方法的一致性思考等式左右两边代数的几何特征，利用问题导向使学生逐步建立二次代数式和面积的关联．

2.3 缺乏公式运用的程序化要求

平方差公式的运用往往会形成这样的情况，简单的学生直接写出结果，当遇到字母表达时，学生往往无法解决，缺乏符号处理的能力和整体观思考的经验，在公式运用时引导学生先判断确定a、b，其次代入a2-b2，最后化简，并运用反例辨析加深学生对公式结构特征．

3 建构：关键能力导向下的公式教学思路

平方差公式的教学思路以“设计课堂活动-渗透思想方法-助力能力培养”三个维度展开，如图1三位维度对应从外向内的圆指向关键能力的培养，以平方差公式教学为例，其中“外圈扇形”为课堂的核心活动，“中圈扇形”为学生感悟的思想方法，“内部扇形”为培养的关键能力．

图1

4 实施：指向关键能力培养的公式教学

4.1 创设情境，从观察和比较中培养数学抽象能力

在公式教学中，学生能在具体的例子中观察每个式子的特点，比较不同式子之间的异同，抽象出有共同特征，用符号和文字语言概括，从而体会到数学抽象的具体步骤和方法，积累经验，逐步形成数学抽象能力．笔者在平方差公式中，设计发现问题、观察分析、归纳描述等环节帮助学生提出猜想．

问题1 上节课我们学习了多项式与多项式的乘法法则，你能来描述这个法则吗？请与同桌说一说或写一写．

追问1：说一说我们是如何证明这个法则的？

师生活动：引导学生文字符号表述多项式乘法法则，分别回顾从数的角度分配律证明法则和从形的角度图形面积验证法则．

教学说明：文字语言和符号语言是法则或者规律抽象的高度概括，一方面说和写有利于学生深化对法则的认识，有利于形成数学结构与体系，另一方面为本节课从数和形两个角度证明平方差公式提供思路．

问题2 你能用多项式乘法法则化简下列算式，你能发现什么规律?

(1)(x+3)(y+4) ； (2)(a+3)(a-2)；

(3)(m+2)(m+2)； (4)(m+2)(m-2)；

师生活动：学生独立化简，分别让3位学生板书．

追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点?

追问2：两个2项多项式的积的结果出现了什么情况?

师生活动：关注相乘的两个多项式和结果的项数和次数，相同的是两个多项式都是一次两项式，结果次数是二次，但不同的是结果的项数有四项、三项、二项．

追问3：同样是二项式乘二项式，为什么它们的结果有四项、三项、二项的情况？

师生活动：这与相乘的二项式的项有关系导致化简时出现合并同类项，从而引起项数减少．接下来我们将来研究两个二项式相乘积的结果只有两项、三项的特殊情况，使得运算减少步骤变得更加简便．今天我们先研究最特殊情况，即两个二项式相乘积的结果只有两项的情况，板书平方差公式．

教学说明：公式的产生其本质为了简便运算，从数学内部引入这样的设计能使学生体会乘公式的研究目的，有利于学生建构乘法公式的体系．在观察算式左右两边时学生从多项式的次数和项数两个方面的特征对结果进行分类，培养学生观察分析的能力，让问题自然发生，符合学生认知特点，让学生初步感受公式的适用条件．

问题3观察(4)(5)(6)，结果是两项的式子，相乘的两个多项式和它们的积中各项有何关系？

追问：你能将发现的关系用式子表达出来吗?

师生活动：学生观察并思考，发现相乘的两个多项式的规律，用字母表示成(a+b)(a-b)=a2-b2．

一方面通过复习多项式乘法法则和证明方法，以计算的方式引入具有承上启下的作用，算式中(1)为一般形式，(2)是十字相乘的形式，(3)是完全平方公式，(4)(5)(6)是平方差公式，是本节课主要研究对象，这样的设计使学生初步感受乘法公式要研究的内容，体会“一般”到“特殊”的关系，初步能观察到公式的特征，为下一步概括公式提供帮助．另一方面通过关键问题的指引，使学生归纳出本节课研究的平方差公式.

4.2 探究活动，从归纳和验证中培养逻辑推理能力

在上述环节，学生从特殊到一般归纳出平方差公式的结构特征，学生认识到了平方差公式是公式(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm中字母a，n，b，m有特殊关系时的“特例”，即当a=b， n=-m时，平方差公式使用需要满足一定条件，可以通过辨析对比分析使学生明确公式使用的结构特征，防止学生盲目使用平方差公式．

提出猜想后证明猜想肯定需要推理，如何让学生想到推理方法呢？通过课前的追问回顾：说一说我们是如何证明这个多项式乘法法则的？类比想到数的角度用分配律证明，即数式通性，而形的角度用面积尝试证明．在用乘法公式证明过程中，运用“左边=右边”的形式验证等式成立是一般的解决方法，注意不是仅仅是一个化简的过程．此外，在问题6中具体数字的乘积计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，教师可以通过问题串“能直接使用平方差公式吗？为什么？”“与(2+1)相乘要能使用平方差公式缺少什么？”“与(22+1)，(24+1)，(28+1)呢？”“我们可以补充什后么，达成使用平方差公式化简？”引导学生反复分析尝试，最后得到添加(2-1)之后可以达到效果，此时教师可以继续追问“添加后对算式的结果有影响吗？为什么？”这些过程都有助学生形成严密的思考逻辑，促进提高逻辑推理能力．

4.3 类比思考，从剪拼和构造中培养直观想象能力

直观想象是建立数与形的联系，在整式的乘法法则中已经逐渐渗透数形结合思想，用图形面积验证法则成立．同样在平方差公式亦是如此，但平方差公式的左边代数式(a+b)(a-b)中构造边长为a-b的长方形对于七年级学生较难想到，可以从公式的右边a2-b2启发，形成两个正方形的面积差图形，进而利用剪拼活动解决图形验证公式，纸片的剪拼，增加学生的动手能力，直观可操作，减少学生的思维负担．

问题4 我们知道整式的乘法可以用图形面积来验证，平方差公式是否可以用图形来验证呢？

追问1：在整式的乘法中，我们由代数式的几何特征解决问题，例如ab联想到长宽为a、b的长方形面积，进而利用几何面积法证明．那么平方差公式你可以想到什么？你更容易想到哪边代数式的几何特征？

师生活动：前提是a>b>0，从a2-b2出发，先构造出边长为a的正方形，然后挖去边长为b的正方形，教师发下纸片，如图2．

图2 纸片

追问2：请利用手中的纸进行剪拼，你用另外的一种方法表示纸片的面积，证明平方差公式？

师生活动：学生在老师事先准备好的纸片进行剪拼，独立思考解决，然后小组交流，教师巡视指导，为展示作准备，常见拼图解决的方法有如图3的三种情况，从而验证a2-b2=(a+b)(a-b)．

图3

教学说明：通过探究活动，渗透二次代数式和面积的关系，在手脑并用的同时可以让学生学到许多知识，利用拼图诠释乘法公式，有利于学生对于乘法公式的理解，实现数形有机结合，同时也为平方差公式赋予几何的直观解释．

初中的代数恒等式一般能用几何面积来表示，几何图形的面积用不同方法算两次表示时就可以得到了一个等式．由图形与等式的转换，使学生认识数与形的联系，使形成一定的思维习惯，从而更好地培养了直观想象能力．

4.4 辨析巩固，从运用与分析中培养数学运算能力．

数学运算能力的培养是学习数学的重中之重．通过一系列习题的练习，使学生总结平方差公式运用的基本步骤和注意事项，进而掌握平方差公式的结构特征，使学生养成一丝不苟的运算态度，培养数学运算能力．

问题5下列表中多项式相乘哪些能用平方差公式化简？如果能，指出多项式中哪些数或式相当于公式中的a，b，并将其表示成a2-b2的形式，并化简得出结果．

多项式相乘能否用平方差公式a表示什么b表示什么写出a2-b2化简得出结果(x+1)(1-x)(a+2b)(2b-a)(-a+2b)(a-2b)(-a+2b)(-a-2b)(2b-a)(-a+2b)(x2-y)(x+y2)

追问1：如何判断能够用平方差公式进行化简？

追问2：运用平方差公式化简的步骤是怎样的？

师生活动：学生回答问题，并相互补充．可以总结出以下经验(1)在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征：有符号相同的项和符号相反的项；(2)符号相同项为a，符号相反的项为b；(3)切勿忘记公式右边的平方，还要化简．

教学说明：巩固平方差公式的特征，知道哪一个数或式子相当于公式中的a和b，然后依照公式，写出平方差，最后化简，利用表格形式能使学生明确使用平方差公式的步骤．

练一练运用平方差公式填空

(1)(a-4)( )=16-a2;

(2)(2x+y-5)(2x-y+5)=( )2-( )2.

师生活动：鼓励学生先独立思考，再相互交流，学生展示，并相互补充．进一步理解如何确定a、b：(1)一般地，符号相同项为a，符号相反的项为b；(2)公式中的字母a、b可以是具体的数、单项式、多项式．

教学说明：引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确a, b的意义．

问题6计算下列各式：

(1)97×103；(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)；(3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

教学说明：(1)(3)使学生平方差公式的构造变形，实现灵活运用；(2)是混合运算，体现出平方差公式在整式乘法中的简便性．

应用公式进行化简是学生再次获取知识的时候，精选不同层次的能使不同层次的学生获得发展，在化简中关注学生的书写过程，挑选出引领示范的学生解答过程进行展示，然后反思总结出程序化的步骤，逐步落实巩固公式的运用，培养数学运算能力.