剖析强基三角，浅谈强基备考

上海市行知中学 (201999) 范广哲

自2020年起，部分重点高校率先开展基础学科招生改革试点(强基计划).强基计划目标是选拔并培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的人才.本文对近两年部分重点高校强基计划中三角函数试题进行剖析，希望能给大家一些启发和思考.

类型一、sinx与cosx对称结构

例1(2020年复旦大学强基计划数学校测)已知函数

则该函数的最小值是．

评析：试题中出现sinx与cosx的对称结构，首要考虑换元，令sinx+cosx或sinxcosx为一个整体，进而把问题简化，方便求解.

变式(1990年全国高考19题)求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

类型二、sinx与cosx非对称结构

例2 (2021年清华大学强基计划数学校测)已知

设f(x)的最大值为M，最小值为m，则( )．

因此

故选B、C.

变式若

其中a,b∈R,则f(x)min=min{a,b}．

(3)当a≤0,b>0时，与情形2类似，略

类型三、三角函数综合性质与图像

解析：根据二维权方和不等式可得

评析：观察其结构特点，发现其内在联系，在不等式求解问题注重使用基本不等式，柯西不等式及推论等方法，同时运用正弦与余弦之间的平方关系，进而达到放缩求出其最小值.

评析：遇到复杂函数时，进行合理拆分进行求解，把复杂问题简化，逐个突破，最后再综合起来考虑整体性质.

评析：求复合函数最值时，若无法直接换元，在放缩过程中，这时要结合函数整体表达式的特点，从而达到简化的目的.

例6(2020年武汉大学强基计划数学校测)设函数f(x)=sinxsin2x，则下列错误的是( ).

B.方程f(x)=a在[0，2π)内解的个数为偶数

C.f(x)的图像有对称轴

D.f(x)的图像有对称中心

解析：首先求f(x)的最大值.当sinx>0时，f(x)=sinxsin2x=2sin2xcosx=

函数f(x)图象如图1所示：

图1

因而方程f(x)=a在[0，2π)内解的个数为偶数，故B正确.

由于f(π+x)=sin(π+x)sin2(π+x)=

-sinxsin2x，f(π-x)=sin(π-x)sin2(π-x)=

-sinxsin2x，因而f(π-x)=f(π+x).可知x=π为f(x)的对称轴，故C正确.

评析：分析函数综合性质时，结合函数本身结构特点，把握函数性质满足性质，选择合适数值进行验证，同时结合函数图像研究函数性质.

备考建议：数学试题是数学思想和方法的载体，强基数学校测注重考查学生的数学思维.教师要善于从不同角度探究数学问题，引导学生抓住不同章节间的联系.教师注重培养学生务实基础知识，让学生掌握解题的通性通法，领悟数学的思想方法，把握数学试题的本质.强基数学校测普遍具有难度高，知识广，题量大及综合性强的基本特点，要求教师在平时教学中要注重积累典型试题和热门考点，提高自身的教学、解题能力，才能培养学生达到一题多解，多题一解.培养坚忍不拔、锲而不舍的意志品质.