求数列和的四个技巧

戴向梅

数列求和问题比较常见，通常要求某个数列前几项的和或前n项的和.对于简单的数列求和问题，可直接运用等差数列或者等比数列的前n项和公式进行计算；而对于较为复杂的数列，往往需采用一些技巧，如分组求和、裂项相消、错位相减、倒序求和等，来求得数列的和.

一、分组求和

若一个数列中的各项可以拆分并重组为几个等差数列、等比数列或其他常见的数列，就可以采用分组求和法，将重组后的数列分成几组，分别运用等差数列或者等比数列的前n项求和公式、累加法、累乘法来求得这几组数列的和.最后将几组数列的和相加减，即可求得原数列的和.

二、裂项相消

若数列的通项公式可裂为两项之差，且前后项可以相互抵消，则可采用裂项相消法，通过简单的运算，即可求得数列的和.一般地，可裂项的数列为分式数列、对数数列、根式数列.在裂项时，往往要确保分裂后的两项的结构一致，这样才便于通过正负相消来求和.并且还需要对裂项后的式子进行验算，以确保计算正确.

解：由等差数列的前n项和公式可得：

三、錯位相减

例3.求和：[Sn=1+3x+5x2+7x3+…+2n-1xn-1]（[x≠0]）.

解：由题意可知，该数列的通项公式为[an=2n-1xn-1]，

当[x≠1]时，因为[Sn=1+3x+5x2+7x3+…+2n-1xn-1]，①

所以[xSn=x+3x2+5x3+…+2n-3xn-1+2n-1xn]，②

数列的通项公式[an=2n-1xn-1]可看作等差数列[2n-1]与等比数列[xn-1]的通项公式之积，可运用错位相减法，将数列的前n项和乘以等比数列的公比，再减去数列的前n项和，即可通过错位相减求得数列的和[Sn].

四、倒序相加

若数列中与首末项两项等距的两项之和等于首末两项之和，即[an+a1=an-1+a2=…=a1+an]，就可以运用倒序相加法求和.先将数列中各项的顺序颠倒；再将正序数列的第一项与倒序数列的第一项相加，正序数列的第二项与倒序数列的第二项相加，正序数列的第三项与倒序数列的第三项相加……那么[2Sn=an+a1+an-1+a2+…+a1+an=na1+an].

可见，求数列的和，需注意：（1）研究数列的通项公式，并将其进行适当的变形，如裂项、通分、有理化、放缩；（2）采用合适的技巧，将复杂的数列转化或拆分为简单数列，如等差数列、等比数列、常数列，这样便能达到化难为易的目的；（3）寻找数列中各项之间的规律，根据其特征，选择与之相应的技巧进行求解.