对一道椭圆中点弦问题的解法的探究

夏凡程

椭圆中点弦问题经常出现在解析几何试题中.这类问题侧重于考查椭圆的方程、性质、图形，中点的坐标公式，直线的斜率公式、方程等.下面就一道典型的椭圆中点弦问题，谈一谈解答此类问题的方法.

一、利用韦达定理

得直线的斜率、方程.

解法1.由题意可知，直线[PQ]的斜率存在，设直线[PQ]的方程为[y=k（x+2）+3]，[P（x1，y1），Q（x2，y2）]，

将直线PQ与椭圆的方程联立，

消去[y]，可得[（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16（k2+3k）=0]，

得[Δ=-1278k>0]，解得[k<0]，

所以线段[MN]的中点是定点[（0，3）].

联立直线PQ和椭圆的方程，即可构造出一元二次方程，此时方程的两个根即为直线与椭圆的两个交点的横坐标或者纵坐标，根据韦达定理就能建立两个交点的坐标之间的关系.而根据中点坐标公式和直线的斜率公式，也能建立两个交点的横坐标或者纵坐标的关系式，据此建立方程或者方程组，即可求得中点弦问题的答案.

化简得[4y2+（9-36m）（x+2）2-12y（x+2）=0]③.

则[kAP，kAQ]为此方程的两个根，于是[kAP+kAQ=3]，

直線的方程为[3（x+2）+4y=12]，

可得[MN]的中点为[（0，3）].

综上所述，线段[MN]的中点是定点[（0，3）].

个根，即可根据韦达定理建立关系式[kAP+kAQ=3]，进而求得线段[MN]的中点.

二、点差法

因为[B（-2，3）]，

所以[-2-x1=λ（x2+2）]，[3-y1=λ（y2-3）]，

则[-2-2λ=λx2+x1]，[3+3λ=λy2+y1]，

[=（1-λ）（1+λ）]，

将[-2-2λ=λx2+x1]和[3+3λ=λy2+y1]代入上式，

运用点差法解题，能有效地减少运算量，提升解题的效率.

解答椭圆中点弦问题，需要注意三点：（1）要谨慎运算，避免出现计算错误；（2）理清直线的斜率、椭圆的方程、弦中点坐标之间的关系；（3）要仔细观察式子的结构特征，简化运算.