谈谈求异面直线之间距离的几个“妙招”

陈益龙

求异面直线之间的距离问题的难度一般不大，此类问题侧重于考查异面直线之间的距离的定义、简单空间几何体的性质，点、线、面之间的位置关系.下面结合一道题，探讨一下求异面直线之间距离的几个“妙招”.

题目：已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为1，求异面直线[A1D]与[AC]之间的距离.

该题目中的条件较为简单，需先根据图形明确题目中点、线、面之间的位置关系；然后运用公垂线法、转化法、构造函数法、等体积法、向量法求解.

一、利用公垂线法

异面直线之间的距离是指异面直线之间的公垂线段的长.而求异面直线之间的距离，关键是找出两条异面直线之间的公垂线.通常可根据简单空间几何体的性质，点、线、面之间的位置关系寻找两条异面直线的垂线或公垂线.再通过构造直角三角形，利用勾股定理求得公垂线的长.

解：如图1，取[AD]的中点[M]，连接[MD1， MB]，分别交[A1D， AC]于点[E，F]，连接[BD1].

因为[ABCD-A1B1C1D1]为平行四边形，

由[A1D⊥AD1， A1D⊥AB]可得[A1D⊥平面ABD1]，

则[A1D⊥BD1]，同理可得[AC⊥BD1]，

所以[EF⊥A1D，EF⊥AC]，

即[EF]为异面直线[A1D]与[AC]的距离，

运用公垂线法解题，往往要找准公垂线段，不可只凭借直观猜想确定公垂线，需要结合线面垂直的判定定理、面面垂直的性質定理等进行证明、检验.

二、采用转化法

有时我们无法直接画出或者找到异面直线之间的公垂线，此时不妨采用转化法，过其中一条直线所在的平面作另外一条直线的平行线，将异面直线之间的距离转化为直线到与其平行的平面之间的距离，或两个平行平面之间的距离.

解法1.如图2，连接[A1C1，C1D]，则[AC//平面A1C1D].

设[AC，BD]交于点[O]，[A1C1，B1D1]交于点[O1]，连接[O1D]，作[OE⊥O1D]于点[E]，

由[A1C1⊥平面BB1D1D]可知[A1C1⊥OE]，

所以[OE⊥平面A1C1D].

所以[OE]为异面直线[A1D]与[AC]的距离.

在[RtΔOO1D]中，[OE?O1D=OD?OO1]，

通过添加辅助线，即可发现[AC//平面A1C1D]，而[A1D?平面A1C1D]，那么找到[AC与平面A1C1D]的垂线OE，求得OE的长即可求得异面直线[A1D]与[AC]的距离.

解法2.如图3，连接[AB1，CB1A1C1，DC1，BD1]，

由正方体的性质可知平面[A1C1D][//平面ACB1]，

则异面直线[A1D]与[AC]的距离等于平面[A1C1D]与平面[ACB1]的距离，

而[BD1⊥平面ACB1，BD1⊥平面A1C1D]，

所以[BD1]被平面[ACB1]和平面[A1C1D]三等分，

根据正方体的性质可知平面[A1C1D][//平面ACB1]，而[AC?平面ACB1]，[A1D?平面A1C1D]，这样便将异面直线之间的距离转化为两个平行平面之间的距离.

三、构造函数

异面直线之间的距离即为两异面直线上任意两点之间的最小距离.在求异面直线之间的距离时，通常可先根据点、线、面之间的位置关系，求得两异面直线上任意两点之间距离的表达式；再将该表达式视为函数式，将问题转化为求该函数式的最小值，从而求得异面直线之间的距离.

解：如图4，在[A1C]上任取一点[E]，作[EM⊥AC]于点[M]，作[MF⊥AD]于点[F]，连接[EF]，则[EM⊥FM]，

则[∠EMF=90°]，设[MC=x，则ME=x，AM=1-x]，

在[RtΔAMF]中，[∠FAM=45°]，

运用构造函数法求异面直线之间的距离，需通过构造函数，将问题转化为函数最值问题来求解.这样便能转换解题的思路，从新的途径求得异面直线之间的距离.

四、采用等体积法

运用等体积法求异面直线之间的距离，需先将异面直线的距离视为三棱锥的高，构造三棱锥；然后根据已知条件求得三棱锥其他底面和高，从而求得三棱锥的体积；再根据三棱锥的体积相等，更换三棱锥的底面，求得相应的高，即可求得异面直线之间的距离.

解：如图5，连接[AB1，B1C，B1D]，则[A1D//平面AB1C]，

设异面直线[A1D]与[AC]之间的距离为[h]，

则点[D]到平面[AB1C]的距离也为[h].

五、运用向量法

解：以[B1]为原点，[A1B1]为x轴，[B1C1]为y轴建立空间直角坐标系，

设异面直线[A1D]和[AC]的公垂线的方向向量为[n=（x，y，z）]，

此方法的适用范围较广，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，求出公垂线段的方向向量.一般地，根据正方体、长方体、直棱柱的结构特征，来寻找三条互相垂直的直线，并将其作为坐标轴，来构造空间直角坐标系.

可见，求异面直线之间的距离的方法较多.在解题时，同学们需根据解题需求和几何图形的特征，选择与之相应的方法进行求解.