例谈三类直线对称问题的解法

杨会新

直线对称问题经常出现在解析几何试题中.这类问题主要考查中点的坐标公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、平行线之间的距离公式等的应用.下面主要谈一谈三类直线对称问题的解法.

一、两点关于直线对称问题

若两个点关于直线对称，则该直线就是对称轴，那么这两个点的中点在对称轴上，且这两点所在的直线与对称轴相互垂直，根据直线的斜率公式与中点的坐标公式建立关系式，即可解题.

例1.已知经过点[M（-3，4）]的入射光线，被直线[l：x-y+3=0]反射后经过点[N（2，6）]，求反射光线所在直线的方程.

解：设点[M（-3，4）]关于直线[l：x-y+3=0]对称的点为[M（a，b）]，

则反射光线所在的直线经过[M（a，b）]，

又因为反射光线经过点[N（2，6）]，

所以反射光线所在直线的方程为[y-0=6（x-1）]，即[6x-y-6=0].

解答本题，要注意：（1）两点M、[M]所在的直线与直线l互相垂直，据此求得[MM]的斜率；（2）两点M、[M]的中点在直线l上，据此求得[MM]上一点的坐标；（3）根据直线的点斜式方程求直线[MM]的方程.

二、直线关于点对称问题

若直线关于点对称，则这两条直线平行，且点到两直线的距离相等.可根据两平行线之间的距离公式进行求解；也可以在直线上任取一点，将问题转化为直线上的一点关于点对称的问题来求解.

例2.已知直线[l：2x+11y+16=0]，求直线[l]关于点[P（0，1）]对称的直线[l]的方程.

或[c=16]（舍去），所以直线[l]的方程为[2x+11y-38=0].

通过分析题意，可以发现两条对称直线平行，根据对称中心到两条直线的距离相等建立方程，求得c的值，就可以得到直线[l]的方程.

三、直线关于直线对称问题

两条直线关于某一条直线对称的问题，一般可以转化为点关于直线对称的问题.先求得所求直线上某一点关于对称轴对称的点；然后根据直线的斜率公式与中点坐标公式建立关系式，即可求出对称直线的方程.

例[3].求直线[L：x-y-2=0]关于直线[3x-y+3=0]对称的直线方程.

解：在[L：x-y-2=0]上任取一點[P1（x1，y1）]，该点关于直线[3x-y+3=0]对称的点为[P2（x，y）]，

又因为[3x-y+3=0]的斜率为[3]，

将其代入[x1-y1-2=0]，得[7x+y+22=0]，

所以所求直线的方程为[7x+y+22=0].

我们将直线对称问题转化为点关于直线对称问题，取直线[L：x-y-2=0]上的一点[P1]，并将其与对称点的中点坐标代入对称轴[3x-y+3=0]，这样便可用更为简便的方式获得问题的答案.

总而言之，解答直线对称问题，需明确点与点、点与线、线与线之间的位置关系，确定其对称中心、对称轴，灵活运用对称图形的性质建立关系式.