选用合适的方法，求解数列的通项公式

宋琳琳

通项公式是数列的一种表示形式.通过递推关系式，往往可以求出该数列的通项公式.求数列的通项公式问题对同学们的逻辑推理与数学运算能力有较高的要求.当递推关系式比较复杂时，很多同学不知该如何下手.下面介绍几种常用的方法，供大家参考.

一、累加法

累加法也叫叠加法.当遇到形如[an-an-1=f（n）（n≥2]，且[n∈N?]）的递推关系式时，可先将数列的各式累加，使等式左侧的前后两项相互抵消，只剩下第一项（[a1]）与最后一项（[an]），即[an=（an-an-1）+][（an-1-an-2）+]…[+（a2-a1）+a1]；再对右侧的式子进行求和，即可求得[an].

在累加消项时，应注意消项的规律，明确要消去哪些项，保留哪些项，才能确保得到正确的结果.

二、累乘法

的各式累乘时，需使等式左侧的前后两项相约，最后只剩下第一项（[a1]）与最后一项（[an]）的比值.

三、构造法

构造法是求数列通项公式的常用方法.运用构造法解题，需将递推关系式进行合理的变形，把某一部分看成一个整体，构造出等差数列或等比数列，以利用等差、等比數列的通项公式解题.

用构造法求数列的通项公式，要先仔细观察递推关系式，对其进行合理的变形，构造出新数列；再确定新数列的首项、公差、公比.在求出数列的通项公式后，还需对首项加以检验，如果不满足所求的通项公式，就应分段表示数列的通项公式.

四、利用[Sn]与[an]的关系

我们知道，当[n≥2，n∈N*]时，数列的前n项和[Sn]与通项公式[an]的关系为[an=Sn-Sn-1].所以当题目中给出的递推关系式中同时含有[Sn]与[an]时，要先利用[Sn]与[an]的关系消去[Sn]，再通过化简求得数列的通项公式.

例5.已知数列[{an}]的前[n]项和[Sn=1-an]，其中[n∈N?].

（I）求[{an}]的通项公式；

（II）若[bn=nan]，求[{an}]的前[n]项和[Sn].

由[Sn]与[an]的关系求数列的通项公式时，应注意：（1）要重视分类讨论思想的应用，分[n=1]和[n≥2]两种情况讨论；（2）要注意[Sn]与[an]互化的双向性，既可由[an]求[Sn]，又可由[Sn]求[an].

以上四种方法都比较常用，运用每种方法解题，都需灵活运用转化思想，对递推关系式进行合理的变形，将问题转化为简单、易于计算的问题，这样才能化难为易，化繁为简.