蹴鞠场景入题，数学文化应用

夏巨星

摘 要：数学文化应用类试题可以巧妙融入创新场景与传统文化，为数学问题的创新应用提供沃土.本文结合中国蹴鞠这一场景，巧妙结合一些相关的数学基础知识，利用数学基本考点的创设与应用来考查“四基”，合理提升数学思维品质，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：蹴鞠；立体几何；概率；统计

教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”^［1］.而中国蹴鞠就是一个很好的数学文化场景，合理融入相关的数学基础知识，创设一些创新应用问题，很好地体现试题的选拔性与区分度，是新高考数学命题中比较热点的应用之一.

1 图形的结构特征

【例1】 现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”.早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则.人们称这一天是现代足球的诞生日.如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱.已知足球表面的正六边形的面为20个，则该足球表面的正五边形的面为                    个，该足球表面的棱为                     条.

分析：依题意，通过欧拉公式构建简单多面体的顶点数V，面数F与棱数E之间的关系式，并从正五边形与正六边形这两个不同的视角来分析，通过方程组的构建与求解，进而来求解该足球表面的正五边形的面数与表面的棱数.

解析：由于简单多面体的顶点数V，面数F与棱数E间有关系式V+F-E=2，

设该足球表面的正五边形的面为x个，正六边形的面为y个，

故填答案：12；90.

点评：此类数学文化问题以中国蹴鞠为场景进行合理创设，结合空间几何体的结构特征，利用空间想象加以直观分析，融合直观想象、逻辑推理与数学运算等相关数学核心素养，实现数学文化与数学基础知识的巧妙融合.

2 几何体的表面积或体积

【例2】 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚跳、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面有四个点P，A，B，C，满足PA=2，PA⊥平面ABC，AC⊥BC.若三棱锥P-ABC体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为                   .

分析：根据题设条件，通过三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形ABC中，利用基本不等式的放缩来确定AB的最小值，进而可得球半径的最小值，得以求解对应的表面积.

点评：此类数学文化问题以中国蹴鞠为场景进行合理创设，通过空间几何体的相互条件，结合空间点、线、面等的关系与性质，合理变形与转化，进而进行逻辑推理与直观想象，确定相关要素的值，为进一步的分析与处理提供条件.

3 比赛的概率问题

【例3】 （2023届江苏省苏州市高三第二学期开学期初调研数学试卷）（多选题）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源.蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事.为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的

点评：此类数学文化问题以中国蹴鞠为场景进行合理创设，并以多选题的创新类型加以创设，巧妙融入阅读理解、概率应用以及数学运算，很好考察了阅读理解能力与逻辑推理能力.

4 概率与统计问题

【例4】 足球运动是一項古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.为了解某社区足球爱好者的年龄分布情况，从该社区随机抽取50名足球爱好者，将这50人的年龄按［5，15），［15，25），［25，35）， ［35，45），［45，55］分成5组，得到了如下的频率分布直方图.

（1） 求样本的平均数及中位数；

（2） 从年龄段［35，45）和［45，55］中按分层随机抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这两人的年龄都落在［35，45）的概率.

分析：根据题设条件，（1） 结合频率分布直方图，利用平均数与中位数的定义代入值求解即可；（2） 先确定从年龄段［35，45）和［45，55］中分别抽取的人数，再利用古典概率模型求概率.

点评：此类数学文化问题以中国蹴鞠为场景进行合理创设，借助频率分布直方图的数形结合加以数据处理与分析，巧妙融入统计图表与统计数据，并结合概率的求解来综合应用，达到数学知识与数学能力的全面考查.

借助中国蹴鞠这一基本运动，合理融入相应的数学基础知识与基本考点，结合数学知识中的“四基”巧妙融合与应用，合理实现对数学文化的渗透，有效增强了考生的理性思维与应用意识，培养了爱国主义情怀.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 马应雄.向量方法在立体几何问题中的常见应用［J］.中学数学，2022（23）：64-65.

［3］ 赵学昌.抽象思维在高中数学教学中的应用研究——以人教版《立体几何》为例［J］.数理天地（高中版），2022（23）：58-60.