建模：激活数学核心素养新动能*

江苏省赣榆高级中学 (222100) 王余娟 江苏省连云港市锦屏高级中学 (222021) 殷长征 江苏省连云港市城头高级中学 (222131) 王 飞

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》确定的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个数学学科核心素养，集中体现了数学课程目标，具有思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观等数学基本特征，是一个相对独立又相互交融的有机整体.其中，数学建模是数学核心素养中极为重要的一项内容，是对现实世界中的实际问题进行提炼、抽象为数学模型，求出数学模型的解，验证数学模型的合理性，并用数学模型提供的结论再来解释实际问题的一种应用过程.通过建立和运用数学模型，发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，引领学生把复杂问题简单化、疑惑问题明晰化，从而增强学生分析和解决数学问题的能力，有效提升学生的数学核心素养.

一、建构微观数学模型，聚焦模块知识浸润核心素养

任何学科体系都是由不同模块知识组成的，通过统计2021年全国甲卷理科数学考查模块基础知识的内容高达60%，其中函数与导数22分、空间向量与立体几何22分、解析几何22分、概率统计29分、三角函数与三角恒等变换15分、数列12分.由此可见，高中数学教师在建构微观数学模型时，必须充分利用教材模块基础知识帮助学生厘清数学建模思路，激发学生认真学习模块知识，深入钻研模块知识，准确探析模块知识的来源，灵活运用模块知识突破教学重难点，聚焦数学模块知识浸润数学核心素养.

案例1 假设你要将手中的资金用于投资，根据实际情况有三个投资方案可供选择.

投资方案一：每天平均回报80元；

投资方案二：第一天回报20元，此后每一天的回报比前一天的回报多20元；

投资方案三：第一天回报0.8元，此后每一天的回报比前一天的回报翻一番.

结合题中的三个投资方案，教师有针对性地运用一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型进行教学，要求学生结合所学模块知识自主探究、合作建构解题模型，潜移默化领悟数学建模思想，循序渐进掌握数学建模方法，为培养学生的数学核心素养奠定坚实的模块知识基础.

案例2 在进行“一元二次不等式”教学时，可以从具体实例引出二次不等式，再引导学生从函数角度去解二次不等式，总结出解一元二次不等式的一般步骤，最后巩固练习并以开放性数学应用问题的提出和解决结束本节课.本节课通过建构适切教学模型，灵活使用建模方法和技巧，激发学生数学思维潜能，提升学生核心素养，高效完成学习任务.已知某地区50cm到160cm未成年男性平均体重与某未成年男生身高、体重，根据电子秤判断标准，分析判断该男生体重是否处于正常范围？教师可以指导学生利用已知条件绘制散点图，再指导学生利用散点图绘制函数曲线图，建构二次函数模型，最后要求学生自主检验模型，使解题思路变得更明晰，解题效果更高效.

二、建构中观数学模型，整合学科要素提升核心素养

近几年，我国高考改革不断深入，高考数学试题逐渐加大了对数学知识综合应用能力的考查，对高中数学教学的要求越来越高，仅靠掌握、理解、运用单一的模块知识已经难以达到应对高考的需要，必须着力培养学生数学建模意识，围绕数学综合类问题提取高中数学学科知识，按照数学知识的性质和逻辑线索强力锤炼学生综合应用知识能力，引导学生熟练运用所学多要素数学知识，科学设计解题路径，精准建构中观数学模型，通过整合数学学科要素知识提升核心素养.

伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等大量信息进行数字化处理，高考数学试卷也普遍强化了对考生数学建模能力的考查，使数学模型的建构、研究、运用得到很大发展.例如2021年新高考Ⅰ卷第16题以折纸对折不同次数后得到的不同规格图形种数及面积之和为研究目的，要求学生灵活运用数学工具.试题重点考查了考生数学建模思维，尤其是整合数列求和、错位相减法等知识的能力，启示我们在教学中要善于整合学科要素知识，发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，进一步确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，促进学生数学核心素养的形成与发展.

案例3 在教学人教版高中数学“函数”时，教师可以先要求学生认真复习巩固以前学过的知识，以初中阶段学习的内容为辅助，运用多媒体设备创设教学情境，使用动画等形式对函数相关要素直观演示，对函数的概念、函数的特征等内容做重点解析，列出变量x、y之间的关系，然后再适时引入函数概念的三个要素，从映射的角度入手全面分析、理解、剖析问题.在此过程中，教师需要利用学生掌握的已有知识渗透新知识、拓展新思维、突破新问题，引导学生了解什么是建构数学模型、如何建构数学模型，以便于学生更加直观地开展学习，培养学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.

三、建构宏观数学模型，植根客观实际强化核心素养

建构宏观数学模型是数学建模的高级阶段，它需要站在立德树人的高度审视数学教育，着眼学生长远发展从不同角度培养他们真、善、美的品质和创造力，植根客观实际广泛利用社会主义建设成果等拓展数学广度、挖掘数学深度、增强数学活度.为此，高中数学教师应紧跟高考数学改革发展的趋势，常态化关注数学知识与实际生活的联系，将数学知识同客观现实、数学文化紧密结合，定期或不定期地组织学生开展研究性学习活动，推动学生在社会实践中发现数学、探究数学、体验数学，引领学生在开放性的数学课堂教学中，提炼现实情境、设置数学问题、建构数学模型，全面强化学生的综合数学素养.

2021年高考数学试题贯彻全面育人要求，注重数学文化育人功能，充分发挥高考数学试题深化教学改革、提高教育质量的作用.其中，2021年全国甲卷理科第2题以调查农村经济情况为背景，反映国家关心农村发展，着力提高农民收入，展示国家实施“三农”政策取得的成果，引导学生关心农村的现状与发展.2021年北京卷第18题，以大规模核酸检测等客观实际情况为情境，介绍“k合1检测法”，展现了我国快速检测新冠病毒的能力：“为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取‘k合1检测法’，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.”然后，精心设计具体情境考查考生的解析能力，诸如此类考查数学建模素养的试题，北京卷至少设计了3道试题，如第8题的降雨量测量的体积模型，第21题第(Ⅲ)问中归纳、建构的“自变量为正整数的取整函数”的数列模型等.这些开放性高考试题的命制与考查，都呼唤数学教师尽快打破陈旧的教学方法和教学理念，树立大教学观和大数学观，建构宏观数学模型.

数学建模与现实生活相互联系、密不可分.教师可以利用日常生活实例为情境设置数学试题，立足学生已有的生活经验和数学知识，尝试建立问题情境与教材知识之间的联系，激发学生主动思考问题的欲望，训练学生建构数学模型的基本技能，逐步树立数学建模核心素养.假设“在北京冬奥会举办期间，某啡馆开展商品促销活动，凡在该商店购买、消费咖啡，可以使用两个本店咖啡杯兑换一杯咖啡，某运动员购买了8杯咖啡请客，在回收空杯后，可以喝到多少杯咖啡？如果购买12杯又能喝到多少杯咖啡？”如此从实际生活中搜集与数学知识相关的素材，将实际生活问题数学化，促使学生在实际生活中发现数学问题、加工制作数学问题，根据现实问题中的数量关系、函数关系等建立相关的数学模型.

伴随《中国高考评价体系》《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的先后实施，新一轮高考数学改革正进一步深入推进，全国范围内的新高考数学全面贯彻高考评价体系的要求，更新评价理念，坚持改革创新，着眼于培养核心素养的教育目标，致力于实现立德树人的根本任务，在试卷结构、题型设置、考试内容、难度梯度等方面进行了大胆创新，特别是命制了许多考查数学建模的试题，充分展示了高考数学的导向性、时代性、科学性、选拔性.面对新高考的新挑战，我们必须应时而动、顺势而为，把握机遇，踔厉奋发，科学地把握高考数学与高中数学教学的关系，从微观、中观、宏观三个维度建构数学模型，锤炼学生建模品质，激发学生思维潜能，优化数学核心素养，促进学生综合发展.