原点到远点：单元教学视角下数学性质的生成过程——以“两角差的余弦公式”生成过程比较为例

余金荣

(江苏省锡山高级中学锡西分校 214186)

对于数学概念，通过定义能够明确其内涵，通过分类，能够明确其外延；从而能够在事物与事物之间进行明确地区分.数学对象往往是变化的，数学性质则研究数学对象变化中的规律性与不变性，能够帮助我们更深入地认识数学对象，更好地解决与其相关的问题[1].文[2]中提到，单元教学是通过围绕某一单元，让学生以单元相关的各类资源为载体，以各种探究活动为手段，使其发生知识迁移，提高其问题解决等高级思维能力以及养成主动探究精神的教学方式.

《普通高中教学课程标准(2017年版2020年修订)》提倡教学过程中要突出主线，把握数学本质，整体把握教学内容，促进数学学科核心素养的连续性和阶段性发展[3].教师教学要启发学生思考，改变教学方式，促进学生学会学习.数学性质作为数学研究的重要内容，我们应该在学生现有认知基础上，宏观思考数学性质，把握其知识主线、方法主线和素养主线，挖掘知识的本质和育人价值，并引导学生开展探究互动，发挥数学性质培养学生的数学力量，将数学核心素养的培育落到实处[1].

本文将从单元教学的角度，比较两节省级同课异构观摩课(节选片断)，内容是“两角差的余弦公式”(人教A版必修第一册5.5.1节)生成过程，学生来自江苏省第一批四星级高中(生源较好)，同时交流笔者在单元教学视角下对数学性质生成的一些思考，与同行分享.

1 原案展示

限于篇幅，案例中略去学生具体活动内容.

1.1 案例一

师生活动 回顾角的定义及三角函数的定义，总结先前知识系统(图1)．

图1

引入1回顾公式(三)～(六)，这实际上是两个特殊角的三角函数，如果进行一般化，那么α+β,α-β的三角函数呢？

引入2如图2，某山顶有一座电视塔，塔底位于点C，塔顶B.在山脚下一点A，测得点B的仰角为60°，测得电视塔的张角为45°，点A距离塔底C的距离为50m，求AD的长度.

图2

问题1如何求cos 15°？如何用三角板摆出15°?

学生活动 通过平面几何的方法探讨 cos 15°的值.

师：前面我们用单位圆推导诱导公式，能否借助以上方法对该公式进行证明呢？

学生有些犯难.

问题2由cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°，能否猜想一般性等式？

问题3如何在单位圆中证明以上等式？

学生活动 作出角α,β,α-β，指出cosα,cosβ,sinα,sinβ的意义，用两种方法表示α-β，逐步利用单位圆证明公式(图3).

图3

1.2 案例二

问题1同角三角函数的基本关系是如何推导的？解决了什么问题？

问题2三角函数的诱导公式是如何推导的？解决了什么问题？

引导三角函数诱导公式中的角与α有怎样的关系？

问题5我们如何解决呢？为此要解决哪些问题？

学生活动 利用平面几何证明两角和与差的余弦公式.

问题6以上证明过程中，α,β,α-β的范围均为锐角，能否推广到任意角呢？

2 听课思考

2.1 立足原点之本：探究数学性质的经验基础

教材的编写过程，对教学内容的安排以学生认知规律和数学知识的发生发展过程为依据.对一个数学对象的性质，教材中必然在逻辑层次进行了妥善安排.因此，对学生已有的经验基础进行回顾，有利于有层次地展开数学性质的研究过程.在学习两角差的余弦的过程中，学生已有的知识基础、方法基础有哪些？已有的经验对学生研究数学性质的影响是正面的还是负面的？以什么样的形式强化经验基础？只有弄清这些问题，教师才能顺畅地引导性质的建构过程，激发学生的原动力.

我们以圆周上点的运动为模型提出了任意角的概念，将角从0°～360°扩充到了任意角的范围，角的定义从静态定义转变成了动态定义.同时，从形的角度对角的加法和减法运算进行了规定：把角α的终边逆时针旋转角β，这时终边所对应的角是α+β，同时规定：α-β=α+(-β).

案例一回顾了角及三角函数的定义，总结了从特殊到一般再到特殊的处理过程，剖析了两角和与差的三角函数与诱导公式之间的关系；从测量的案例出发，让学生体会了研究两角差的余弦的必要性.两个引入分别从数学内部和数学外部展开，旨在激发学生的求知欲，同时为性质的探究提供知识基础.案例二回顾同角三角函数关系，重点强调了单位圆在研究过程中的重要性，为本节课提供了工具基础.随后回顾了诱导公式及其推导过程，将其一般化则自然地引出了本节课的主题，同时也建立了诱导公式与两角差的余弦公式的关系.从效果上来看，尽管案例二没有过多地回顾解直角三角形的相关知识，课堂上学生还是比较自然地选择了平面几何的方法来推导两角差的余弦公式.两个案例中用单位圆这一研究工具及旋转的观点看角α,β,α-β均有些突然，教师若能在任意角的定义(动态)，以及加(减)法运算与形的关系两个方面采用合适的方式进行巩固，会使课堂更加自然.

2.2 走向远点之源：生成数学性质的知识主线

知识的主线也就是知识的来龙去脉，能体现知识发展的过程.教材按照“背景—概念—性质—应用”的顺序给出了三角函数的研究路径和主要内容，我们在教学中应该厘清知识主线，以知识为载体、以知识发生发展过程为基本线索展开，使学生在教师的指导下体会发现和提出问题、分析和解决问题的过程，给学生呈现数学知识再发现、再创造的过程.分析三角函数知识发展脉络，两角差的余弦位于任意角及其三角函数、诱导公式、三角函数的图象与性质之后，后续内容则是两角和的余弦及其他恒等变换公式.教材采用的“单位圆定义法”、同角三角函数及诱导公式都是原点的对称性在代数上的表现；从任意角定义的角度来说，诱导公式正是角的终边在旋转变换的过程中的不变性，即三角函数的性质.旋转对称性也是圆的重要特性，两角差的余弦正是单位圆旋转对称性的代数表示，也可视为三角函数的性质.从物体运动来说，两角差的余弦建立了两个旋转运动叠加后的状态与叠加前两个运动之间的关系.

案例一以任意角三角函数、诱导公式、解直角三角形为前序知识，对猜想的等式一般化，利用单位圆，结合平面知识进行推导，充分尊重学生的思维.从课堂上学生的表现来看，其思维得到了充分的碰撞，主动参与到了性质的推导过程中来.案例二从任意角三角函数的定义和诱导公式出发，一般化提出问题，以单位圆为工具，引导学生结合平面几何的知识进行探究.学生在教师的引导下逐步得到两角差的余弦这一公式，其素质和能力得到了培育.两位教师在教学过程中都大胆地“放权”由学生自主探讨，把突破重点、难点的任务交给学生自主完成.他们为什么都敢如此大胆地这么做呢？这与教师对学生知识系统的把握不无关系.从学生参与的程度对比来看，利用平面几何探索两角差的余弦的过程，案例一更顺畅一些，这是因为教师设置了三角板这一学生所熟悉的情境作为铺垫.不过，两个案例在利用圆的对称性来推导一般情况下的两角差的余弦公式时都显得有些突然.如果教师能够将两角差的余弦与诱导公式一起从几何的角度进行剖析，将代数上的性质逐步转化到几何上，兴许能使证明的推进更流畅.

2.3 探寻远点之缘：建构数学性质的方法主线

两个案例在数学性质生成的过程中，均将以上四种思想方法渗透于课堂全过程，帮助教师启发和引导学生分析问题、解决问题，这能很好地发展学生的核心素养.但是，在方法的选择上，两个案例均以平面几何探究数学性质为第一出发点，并引导学生深入探究，当由圆的旋转对称性探讨数学性质时，由于时间原因略显仓促.实际上，纵观整个章节，将圆的性质代数化，进而研究三角函数的性质，这是很重要的一条数形结合的暗线.本节课，在提出证明问题后，如果教师能够引导学生将研究的路径进行整理，再分别研究，最后对比不同研究方法的优劣，则能够进一步提升学生的元认知水平.

2.4 感受远点之味：析出数学性质的素养主线

从学生学习的角度看，两角差的余弦这一数学性质建构过程主要体现了数学建模、直观想象、逻辑推理等关键能力.这是核心素养的重要成分，教学中应该着力提升这几种关键能力.

(1)数学建模

三角函数是刻画圆周上动点位置的一个重要的数学模型.任意角采用动态方式进行定义、三角函数以单位圆为工具进行定义、利用单位圆研究三角函数的性质等，都是三角函数这一数学模型建立和研究的过程.两角差的余弦以单位圆为工具开展研究，有利于进一步巩固这一建模思想，同时有助于理解两个圆周运动叠加的过程.

(2)直观想象

在证明两角差的余弦的过程中，是通过几何图形、利用圆的性质开展研究的.其中建立α,β,α-β这三个角终边关系及坐标关系的过程正是借助几何直观.因此，本数学性质生成的过程充分利用几何图形描述问题、直观理解、探索关系，这正是发展直观想象核心素养所需要的.

(3)逻辑推理

本数学性质生成过程中的逻辑推理主要表现在通过对α,β,α-β终边位置的分类讨论，将各种可能的情形进行推理、简化；将图形的几何特性代数化，建立代数恒等式.实际上，限于条件，第一个逻辑推理过程不能给出严格的演绎推理证明，因而借助几何直观进行了合情推理.

案例一借助三角板，从特殊到一般，帮助学生建立了α,β,α-β三者之间的关系，并以平面几何推理经验为基础，建构了三角函数的数学性质.以学生熟悉的情境激活其认知系统，在类比的基础上，流畅地进入了两角差的余弦公式证明过程.案例二直接以单位圆为背景，建立α,β,α-β三者之间的关系并进行几何证明.从学生思维的角度来说，第一种处理方式相对顺畅，但是也有降低思维力度之嫌，应当根据学情选择合适的处理方式.从效果上来说，两种处理方式在直观想象和逻辑推理两种关键能力的培养上都有较大收获.对于数学建模素养，还需要教师在问题的发现与提出过程中进行渗透，对整个章节的数学模型进行阶段性的提升，在问题解决后能够将成果“翻译”到对应的模型中.这样一方面可落实数学建模关键能力的培养；另一方面可将大单元的核心问题贯穿于整章教学的始终.

3 结语

单元教学能够帮助我们整体规划学生核心素养的发展，有利于借助大框架、大问题、大背景进行高观点思想驾驭、结构关联，能够规避传统教学中课时教学整体感不强、知识碎片化等现象.对数学性质的研究，既要有受数学性质的一般性认识所指引的整体架构，又要有能洞察具体实例共性特征的敏锐直觉和抽象能力.教学中，应该挖掘数学性质的经验基础，找准原点，站在单元的视角下剖析生成数学性质的知识主线、方法主线、素养主线，看到远点，设计教学.使学生经历数学性质的生成过程，发挥数学性质应有的育人功能，才能使数学学科核心素养的培育落在实处.