古今计时工具：从“漏壶”说起*

张维忠 李婉玥

(浙江师范大学教育学院 321004)

倪 明

(上海市核心数学与实践重点实验室 200062)

现在几点了？你的第一反应是抬头看钟、抬起手腕看表或者点开手机查看时钟……那么在遥远的古代，古人是如何知道时间的呢？这里，我们说说一种古老的计时工具——“漏壶”．

1 “漏壶”是什么？

早在3 000多年前的商代，人们就发明了用漏壶来计时．漏壶也叫“漏刻”“漏箭”“滴漏”“水钟”，它是根据漏壶中水量的变化来度量时间的．漏，指漏壶，是底部带有一个小孔的容器；刻，指箭刻，是有刻度的箭杆；箭，是指标有时间刻度的标尺．

最早的漏壶形式较为简单，是一个上面带有提梁、底部开一个小口的盛水容器(壶)．漏壶的侧边壁上，刻有一些表示时刻的标记．使用时，首先在壶中装满水，然后让水漏出，随着壶中水量的减少，水面高度到达某一标记，即可读取相应的时刻．漏壶可以重复使用，当壶中水漏完后，可以再在壶中装水．

这种方法虽然可以粗略地读出时间，但读取的过程并不方便，人们对此进行了改进，比如在壶中加入“箭”，即有时间刻度的标尺．方法是，把一个木制的托片(箭舟)放到壶内的水面上，将一根刻有时刻标记的木条或竹竿(箭杆)从壶盖上的孔插入，再插在箭舟上，这样随着水的流出，箭杆随着箭舟下沉．通过察看箭杆被水面浸淹的部位，然后在壶盖(或提梁)的上边观察箭杆上的标记，便可轻易地读出时刻，这种方法被称为“沉箭法”．

“箭”上的时间标记往往以时辰和刻为单位．古时候，人们将1日分成100刻或12个时辰．12时辰用十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)来表示，每个时辰又被分为初、正两个部分．每个时辰包含8刻，12个时辰共96刻，剩下的4刻分别分给上下半天．“箭”上一般是刻十二时辰，每时辰8刻(图1)，“时刻”“一刻钟”就来源于漏壶的刻度．大小不同的漏壶，其一壶水漏完所计的时长也不等．先秦时期的漏壶大多用于军事活动相关，为了便于携带，它的尺寸不会很大．最常用的漏壶就是“一刻之漏”，即每漏完一壶水的时间为一刻(这里的一刻为古刻，大约相当于如今的14.4 min．和现代的一刻钟略有偏差，现代的一刻钟为15 min)．

图1 元代漏壶在箭上的标记 图2 西汉漏壶

图2是西汉满城铜漏，高22.4 cm，所计时长约为两刻钟到一个时辰．然而，漏壶里水量的变化会影响漏水的快慢——水位高时水流得快、水位低时水流得慢，这就影响了计时的精确度．因此，这类漏壶相对适用于对计时的精确性要求不太高的场合，一般只能作为日常生活的计时工具．这种由一个壶构成、箭杆随水的泄漏逐步下沉的漏壶，被称为单壶泄水型沉箭漏．

沉箭漏不仅会受到壶内水量大小的影响，还会受到环境中空气湿度等因素的影响，导致计时的偏差．为此，东汉时，张衡(78—139)将单壶发展为双壶，将沉箭发展为浮箭．这种漏壶由两只漏壶组成，一只是泄水壶，另一只是受水壶．水由泄水壶流入受水壶，受水壶内水位逐步上升，箭杆随之上浮，所以这种漏壶又称作浮箭漏．这种方法通过尽量保持水滴入受水壶是均匀的，来达到提高计时精度的效果．

后来经过不断改良，晋代出现三级漏壶，唐代出现了四级漏壶．这些多级漏壶是将两个以上的漏壶自上而下放置，使最上面一个壶中的水流入第二壶，再由第二壶流入第三壶，以此类推，最后流入受水壶．这是通过增加壶的数量，以更大程度地保证最后一级壶中水位的稳定不变，从而提高计时的精度．如图3所示的是一种四级漏壶(藏于国家博物馆)．

图3 元代铜壶滴漏 图4 燕肃莲花漏

但漏壶总不能无限地增加，到了宋代，出现了分水壶——把漏壶里多余的水分流出去，来保持水位稳定．比较著名的是燕肃(961—1040)创制的莲花漏(图4)，这种漏壶因最下层的壶和箭刻像莲花形状而得名．

在宋代，漏壶的发展达到了一个高峰．宋代著名学者沈括(1031—1095)(图5)在漏壶的研究上卓有成效．他担任司天监提举(相当于现在的国家天文台台长)时，花了十多年时间考验漏壶．他改良的漏壶，能使受水壶的水面保持相对不变，提高了计时的精度．此外，他还经过长期的天文观察，发现一天并非都是相等的24小时，这是世界科学史上的创举．沈括将多年研究撰写成一部学术专著——《熙宁晷漏》，可惜该书现已失传．

图5 沈括

发展到元代，漏壶上已经有了多样的装饰和寓意，颇具地方特色．图3的元代铜壶滴漏是我国现存最大和最完整的漏壶．它铸造于元延祐三年(1316)，距今已700多年，由大小不等的四个壶组成．壶身饰铸云纹及北斗七星．除日、月、星、箭四个铜壶之外，还有一个龟蛇合体的玄武形铜盖．玄武，又称真武大帝，为司水之神，在中国南方受到人们的崇拜．日壶的外侧铸有铭文，上面列出的监造官员和工作人员共有20人．可见，当时对这件仪器的制作是一项大工程．铭文上还谈到，大名鼎鼎的传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552—1610)面对此铜壶滴漏，想仿制却无从着手．这件铜壶滴漏原本放在广州城的拱北楼上作为报时仪器，后经历了遗失、损坏、多次修补和搬迁，现存于广州博物馆．诗人徐良琛(清朝人，生卒年不详)曾作长篇《拱北楼铜壶歌》：“日转楼角风凌凌，访古直上层楼冬．楼中刻漏传自昔，决制朴拙形彭亨……”对这件铜壶滴漏的设计、结构、功能、使用等有比较详细的解说．从中我们也能看出它在当时人们心目中的重要地位[1]．

随着科技的日渐发展，如今我们有更好的工具来替代“漏壶”进行计时，但对“漏壶”这一洋溢着中国古代人民智慧的发明创造，人们的关注并不少．试着用你常用的搜索工具，找一找有关“漏壶”的视频、图片和文字等信息，和你的同伴、老师及家人分享你的发现吧！

2 “漏壶”是怎么用来计时的？

漏壶是通过观察水从一个容器通过小孔滴落到另一个容器中所需的时间来计时的．那为什么观察水位的变化就可以知道时间的变化呢？或许水位和时间的变化存在某种必然的联系．学过函数的同学可以发现，这似乎符合函数的定义．以泄水型沉箭漏为例，随着时间的累积，水位会逐渐降低．漏壶中水位的变化是通过箭杆表现出来的．假设漏水量是均匀的情况下，随着水位的均匀降低，箭杆也会均匀下沉．也就是说，箭杆下降的高度h与所经历的时间t成正比h=kt(k为比例常数)．

可见，该容器泄水的流量是时间的一次函数．正因为漏壶中存在这一函数关系，所以它能够用来计时．下面，我们看看数学教材中关于“漏壶”的内容．

2.1 数学教材中的“漏壶”

教材中的“数学文化”并不单独设置，而是渗透到不同的知识内容中，学生在知识学习的同时，由不自觉地向自觉地继承“数学传统”，发展情感、态度与价值观[2]．2013版人教版“义务教育教科书·数学”八年级下册“函数”章节中有这样一道习题[3]：“漏壶”是一种古代计时器(图6)．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面哪个图象适合表示y与x的对应关系？(不考虑水量变化对压力的影响)

图6 漏壶

在这道题中可以发现，我国古代发明“漏壶”是源自生活中计时的需要，而这一伟大发明在本质上是函数思想的应用．实际上，通过前面的分析，我们可以直接选出选项(2)．由分析材料，我们也可以得出结果．随着漏水的时间越来越长，壶中的水只会越来越少，即壶底到水面的高度y会随着x的增加而减小，且壶内的水会有流完的一个时刻，即会出现y=0这一点，所以可排除选项(1)．“漏壶”作为一种计时工具，当不考虑水量变化对压力的影响时，在均等的时间里，壶内流出的水量应是均等的，壶底到水面的高度减少的量也应是均等的，即可以排除选项(3)．聪明的你会发现，解这道题并不难，只要我们仔细阅读和理解关于“漏壶”的信息，就可以很容易地将它转化成对应的函数图象．

2.2 中考试题中的“漏壶”

教材中的习题也被改编为2019年湖北武汉中考卷中的一道试题：“漏壶”是一种古代计时器(图6)，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是( )．

这道中考试题在上述教科书习题的基础上，多增加了一个选项．而这一选项通过上述对漏壶的分析就可以排除．

同学们可能会好奇，可以建立怎样的数学模型来刻画壶内水的高度(壶底到水面的高度/箭杆升高的高度)和时间的关系？或者说，壶内水的高度h和时间t的关系式到底是怎样的？(不考虑水量变化对压力的影响)

教材往往给我们预留了运用创造性思维的空间[4]，中考试题亦如此．在此基础上，可以进一步创造性地思考．例如，壶底小孔中漏出的水真的是均匀的吗？从前文中可以看到，古人注意到随着泄水壶中水的减少，漏水速度会变慢，从而设置多级型漏壶，使水逐级下漏，以尽量保证最后漏入受水壶的水流是均匀的．也就是说，实际上壶内的漏水量不是均匀的，漏壶内水量的变化对水流速度会产生影响．在考虑这种情况时，“漏壶”装置中漏水时间和壶内水量到底是什么样的关系呢？能建立相关的模型解决该问题吗？要想解决这一问题，我们或许需要用到物理中流体力学的相关知识[5]．同学们可以试着查阅相关资料解决该问题．又或许，想要让小孔的水流是均匀的，可以通过改进漏壶装置实现，这样的漏壶应该做成什么样呢？

3 如何制作一个自己的“漏壶”？

聪明的祖先早就发明了“漏壶”，它的原理是让水从一个容器通过小孔滴落到另一个容器中所需的时间来计时．我们也可以沿着这一思路，利用塑料瓶等材料，制作一个简易的“漏壶”模型．根据容器的大小和瓶盖孔的大小，可以制作一个3分钟或5分钟等不同时长的“漏壶”模型．

材料准备 透明塑料瓶、剪刀、纸、胶带、笔、秒表(或手机/计时器)、墨水．

制作步骤 (1)用剪刀把透明塑料瓶剪成上短(瓶a)下长(瓶b)的两部分，剪下一段纸条贴在瓶b上(图7)．(2)从瓶a上取下瓶盖，在瓶盖中心打个小孔．再将瓶盖重新盖回瓶a顶部，并拧紧．提示：孔的大小将决定水流的速度，即决定你的“漏壶”所计时长．建议先打个较小的孔，方便后期调整．(3)按住瓶a盖上的小孔，往其内加水．后将瓶a放到瓶b上方，再将手指从瓶a盖上的小孔下移开，保持瓶a放于底座(瓶b)上的状态，让水慢慢滴下．(4)当水开始往下滴时，通过手机、手表或其他计时工具开始计时，并用记号笔在瓶b上划出单位时间内(10 s/30 s/1 min等)的水位线，直到所有的水滴完．提示：如果你对水滴的速度不满意，可以通过改变瓶盖上的小孔大小来调整．即如果太慢，应把小孔扩大；如果速度太快，应另取一个瓶盖，在其中心再打一个比前面那个小一点的孔．另外，可以在水里加入几滴墨水，让实验过程看得更清楚．

图7

现在，你的“漏壶”就制作完成啦！在你没有计时工具的时候，它可以作为临时时钟使用．试试看，用你的“漏壶”计时，读一读本节的内容，看看1分钟你能读多少个字．

讲解视频 扫描二维码(图8)，可以看到漏壶的制作过程．看看你的制作过程与视频中的是否差不多？

图8

过程记录与自我评价 制作的过程不是一蹴而就的，你可以在“活动记录单”上记录你的制作过程、制作结果和感想(表1)，也可以通过“自我评价表”对你的制作进行评价(表2)．

若你选择的塑料瓶为近似圆柱形的，那么你能根据漏壶中水的高度h和时间t的关系式，计算出这一漏壶中的函数模型吗？提示：先测量出容器的高h2、容器底面圆半径r，单位时间间隔内从小孔中流出的水量a，再进行计算．

或许你会发现，制作的简易“漏壶”可能存在一些误差，怎么让你的“漏壶”更加精确？除了这种方法，你有更好的制作“漏壶”的方法吗？

表1 活动记录单

表2 自我评价表

4 形形色色的计时工具

4.1 早期的计时工具

在漏壶之前，中国古代最早主要用圭表(ɡuī biǎo)和日晷(rì ɡuǐ，意指“日影”)进行时间的计量．这两者都以太阳为观测对象．其中圭表(图9)最为简单，早在公元前20世纪就已经出现．它由“表”和“圭”两个部件组成，圭是平卧的尺，表是直立的标竿，表放在圭的南、北端，与圭垂直．它是根据“表”的日影长短来确定时间的，这就是成语“立竿见影”的由来．用圭表测量正午时分的表影长度可以定节气、定年长．我国古代人民正是用圭表测量和规定了二十四节气，是我国重要的非物质文化遗产．日晷(图10)起源于圭表，是利用表影的方位变化来测定时刻的计时仪器．日晷通常由晷针(表)和晷面(带刻度的表座)组成，利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．人类使用日晷的历史非常遥远，古巴比伦在6 000年前的远古时期就开始使用了，我国则在3 000多年前的周朝．

图9 东汉袖珍铜圭表 图10 日晷

圭表和日晷的使用都受阳光的限制，一旦遇到晨昏、阴雨，便失去效用．后来，漏壶的发明正是作为日晷的补充．为了确定滴水流速快慢，检验漏刻是否正确，通常是用日晷的刻度校准的．但漏壶和日晷的校准也时常出现不符的现象．另外，漏壶中水流速度还受到四季温度变化等诸多因素的影响．约在12世纪，沙钟(也叫做沙漏，图11)作为夜间海上航行的仪器被发明．其制造原理与漏壶大体相同，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的时间来计量时间．这种采用流沙代替水的方法，一定程度上弥补了日晷、圭表和漏壶的不足．

图11 沙钟 图12 水运仪象台

我国北宋时期，苏颂(1020—1101)、韩公廉(北宋人，生卒年不详，活跃于11世纪后期)等人发明制造了水运仪象台(图12)，它是以漏刻水力驱动的，集天文观测、天文演示和报时系统为一体的大型自动化天文仪器．这台仪器的制造水平堪称一绝，充分体现了中国古代劳动人民的聪明才智和创造精神．其标志着中国古代天文仪器制造史上的高峰，被誉为是世界上最早的天文钟．

13世纪，欧洲的修道院里出现了机械钟，在明朝万历年间传入我国．机械钟是通过钟声来报时的一种计时器．机械钟安装上了钟面和指针，这让时间这一始终伴随着人类社会发展进步的无形标准，第一次有了外在的形象．1335年，公共时钟的出现，使机械钟第一次进入人们的日常生活．较有代表性的是伦敦大本钟(图13)、上海海关的大钟与莫斯科红场大本钟，它们为英国同一家公司定制生产，属于真正意义上的“亲哥们”．这类机械钟的结构复杂、体积相当庞大，还不能进入家庭．

图13 英国伦敦大本钟 图14 惠更斯钟摆

17世纪，荷兰天文学家、数学家克里斯蒂安·惠更斯(1629—1695)发明了有摆的挂钟(图14)．他是以伽利略发现的“摆”的等时性原理为基础，将“摆”作为钟表调速器发明的．自此以后，人类掌握了比较精准的测量时间的方法．

4.2 现代的计时工具

1967年7月，瑞士发明和制成了石英表．它利用周期性持续“发振”的水晶，为我们带来准确的时间．一天之内的误差率也不会超过1秒．它比传统机械表轻薄、精准，同时避免了使用机械表时需要上发条的繁琐而受到普及．如今，石英表的使用相当普遍，图15是某品牌的石英表．

图15 石英表 图16 标准化考场里的电波钟表 图17 智能手表

21世纪，出现了电波钟表和智能手表．电波钟表(图16)是一种通过接受国家授时中心的无线信号以确保时间准确性的计时工具．它能使所有接收标准时间信号的电波钟表都与标准时间授时中心的标准时间保持高度同步，进而全部电波钟表显示严格一致的时间．我国高考考场中配备的就是这种电波钟表．智能手表(图17)能够连接网络，在功能上更为齐全和多样，是时下流行的钟表．

以往的钟表基本上是圆盘式，随着社会的信息化和数字化的推进，如今的计时工具以数字式更为常见．我们常常看到政府机关的大厅、公园的门口都设置有数字式的计时工具．在手机、电脑上所显示的时间更多地采用数字式．一般而言，数字式的时间显示更为准确、更为精细．百米赛跑国际比赛采用的是电子红外线计时器，对计时有相当高的要求．

也有计时器是采用倒计时的，这往往是为了完成某一个确定的目标而设置的，如会议发言的时间控制、厨房间烧菜时设定的倒计时等．图18里的节气数码历显示有二十四个节气，并设置了节气的倒计时，方便农耕的安排．

图18 节气数码历

为了照顾到各地区使用时间的方便，又能使其他地方的人容易将本地的时间换算到别的地方时间上去，有关国际会议决定将地球表面按经线从东到西划成一个个区域，并且规定相邻区域的时间相差1小时．在同一区域内的东端和西端的人看到太阳升起的时间最多相差不过1小时．当人们跨过一个区域，就将自己的时钟校正1小时(向西减1小时，向东加1小时)，跨过几个区域就加或减几小时．这样使用起来就很方便．现今全球共分为24个时区[6]．曾经以格林威治天文台向世界提供标准时间，由于传统的方法确认时间存在一定的误差，现在的标准时间由原子钟提供．实际上，常常1个国家或1个省份同时跨着2个或更多时区，为了照顾到行政上的方便，常将1个国家或1个省份划在一起．所以时区并不严格按南北直线来划分，而是按自然条件来划分．由于世界各地存在时差，随着人们的国际交往增多，为了方便掌握时间，不少计时工具会设置两个地方的时间，有手表的，也有手机的．

4.3 钟表与文化

随着计时需要得到满足，计时工具不仅具备计时的功能，还逐渐被赋予了多样的文化内涵和寓意．周朝初期出现了以编钟为主要形式的时乐钟，弱化了计时的功能，是主要用于王朝贵族的礼乐器，成为一种等级的象征．清朝的御用宫廷钟表用料考究、制作工艺多样，外表多用珍贵的紫檀木雕刻出亭、台、楼、阁、塔等建筑式样，越发精美．清朝的钟表也成为了外交上的重要礼物．18世纪中期，江南一带殷实人家流行在中堂条几中央摆放一座钟，东侧摆放瓷瓶，西侧摆放一面镜子，寓意“终生平静”，这时的钟表成为了徽派建筑中最为常见的家居陈设．

有一篇美文《找怀表》，是一个很有影响的励志故事．虽然主题是告诉人们在努力工作的时候，需要有正确的工作方法和努力的方向，但是文章以怀表的丢失为问题导向，足见作为计时工具的怀表在当时人们心目中的地位，弥足珍贵．

20世纪70年代末，年轻人结婚三件套成为富裕的标志，其中一件就是手表(另两件是自行车和缝纫机)．而现在单独佩戴手表的人在减少．作为个人物品的计时工具——手表，对部分人而言成为了奢侈品，价格为数万元以上，已经改变了作为计时工具的原意．人们也将时钟与工艺品结合，作为家庭里的一种装饰，图19即是一例．

图19 作为装饰品 的时钟

计时工具，作为工具是为时间服务的．有了这个工具，我们可以很好地把握时间．生活也好，学习也罢，需要有目标、有所追求，自己得制定完整而周密的计划，然后根据时间节点努力去完成，才能实现自己所期望的目标．

曾有作文题——《做时间的主人》，此时此刻，如果要你来完成作文，你是如何考虑的？现代社会免不了与人交往，无论是当面约谈还是线上交流，往往是预约好的，很重要的一点是守时．现在的时间工具为我们提供了很大的便利，想守时应当是有很多办法．守时、诚信是成功的前提．图11样子的沙漏，在现在一些餐厅里也会见到，餐厅承诺在一定的时间内(沙漏完之前)上完菜．这是一种承诺，守信的象征．

我们从“漏壶”说起，介绍了很多的计时工具．我们只有把握好时间、用好计时工具，才无愧于这些创造者们．