对一道二元函数最值的解法探究与推广

刘海涛

(安徽省芜湖市第一中学 241000)

《中国高考评价体系》指出：高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面横向的交互融合，也包括不同层面之间纵向的融会贯通.在教学过程中，对于一些典型问题，如果我们能够从不同角度思考，寻求不同的解法，以一题多解的方式寻求知识间的内在联系，构建知识的网络体系，加深对问题的本质认识，定会拓宽解题视野，发散解题思维，提升学习兴趣，提高解题能力.本文是笔者对一道二元函数最值题的研究，现与读者分享交流.

1 试题呈现与分析

分析该题形式上以二元高次方程为背景命题，主要考查分析、解决二元高次问题的能力，强化对转化与化归、函数与方程、消元与不等式求最值等数学思想方法的考查，体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养.试题结构虽简单、明了，但内涵丰富，本文尝试对该题从不同的角度予以思考，给出不同的解法.

2 解法探究

角度1 化二元为一元，借助导数或均值不等式求最值.

解法1由y3(5-2x3)=3，得

由x>0，得P″>0.

则导函数P′在(0,+∞)上单调递增.

注意到当x=1时P′=0，于是易得函数P在(0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，故当x=1时,函数P取得最小值5.

评注化二元为一元是解决二元函数的最直接做法，通法是消去其中一个变量，得到关于另一变量的函数，接着利用不等式、对勾函数、求导等求出最值.

解法2由y3(5-2x3)=3，得

设f(x)=(5-2x3)x2=-2x5+5x2(x>0)，

求导得f′(x)=-10x4+10x=-10x(x3-1).

当00，当x>1时f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在[1,+∞)上单调递减.

于是f(x)max=f(1)=3.

故当x=y=1时函数P取得最小值5.

即(5-2x3)x2≤3，当且仅当5-2x3=3x3，即x=1时等号成立.

所以当x=y=1时P取得最小值5.

评注解法3是对解法2 的优化，在将目标式放缩为关于x的一元分式函数后，再次利用五元均值不等式求出最值.

解法4由y3(5-2x3)=3，得

所以当x=y=1时P取得最小值5.

角度2根据条件式与目标式的系数不同，配凑出不等式所需结构.

解法5由y3(5-2x3)=3，得

故P的最小值为5.

解法6由y3(5-2x3)=3，得

所以当x=y=1时P取得最小值5.

解法7由y3(5-2x3)=3，得

所以P取得最小值5.

解法8由y3(5-2x3)=3，得

=55，

所以P取得最小值5.

3 问题的推广

由上述解法不难想到，该问题可以做如下推广：

证明由赫尔德不等式，知

4 反思总结

用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握相关的数学知识，还能更灵活地运用所学知识．通过一题多解，分析、比较各种解法，可以找到最佳的解题途径，从而发散学生的思维能力，对巩固知识和解题能力大有裨益，是提高数学成绩的一条捷径．但是我们在日常学习中，要结合自身掌握程度和实际情况，选择最佳的解题方法，不要一味追求某一种解法，要学会从不同解法中汲取不同的数学思想，提高自身的数学核心素养.笔者对问题做了一个简单的一般化推广，与读者分享交流，以发挥该题的最大价值，欢迎读者给出更多的推广.